Ziroi allgemeine Klassen hestimmtm- Integrale. 25 



Hiermit ist zugleich ciwieseu. dass jede Function fp (x, _?/) der voraiis- 

 gesetzten Art aus einer Function F(^ii, r) der in § 2 angegebenen Bescliaffen- 

 heit niitteist der durch die Formel (.'}(>) ausgedrückten Operationen erhalten wer- 

 den kann. 



Eigentlich wurde die (iültigkeit der Formel (80) oben bloss für solche 



Werthe | = |^|e ', '>; = |i?ie ' nachgewiesen, welche dem durch die Ungleich- 

 heiten — ™ < H, < + ^' — « < «2 "^ + « charakterisirten Bereiche angehören. Nach 

 einem bekannten Satze tindet doch die Gleichheit (30) auch für den ganzen 

 Bereich (19) statt, in welchem die beiden Seiten eine monogene Function 

 darstellen. 



Amnerhmg. Da sich eine Function (p {x, y) der am Anfange dieses § 

 angegebenen Art durch die Substitutionen x = e~'", y = e"'" in eine Function 

 F («, 1') der im § 2 angegebenen Beschaffenheit verwandelt, so lässt sich die 

 letzte Formel dieses § offenbar auch auf einem kürzeren Wege aus der letzten 

 Formel des § 4 ableiten. Der hier eingeschlagene weitläufigere Weg dürfte 

 indes tiefer in die Sache hineinführen. 



Den vorausgehenden Untersuchungen gemäss entsprechen die Functionen 

 der zwei in den resp. §§ 2 und 5 charakterisirten Functionsklassen einander 

 eindeutig. Jede Function F {u, ?') der ersten Klasse — so wollen wir uns der 

 Kürze halber ausdrücken — wird durch die Formel (30) in eine Function 

 (x, y) der zireiten Klasse transformirt. Umgekehrt wird auch jede Function 

 (x, y) der zweiten Klasse durch die Formel (21) in eine Function F (u, v) 

 der ersten Klasse transformirt. Wird F durch (30) in und sodann durch 

 (21) in Fl transformirt, so ist stets F^-F. Wird </> durch (21) in F und 

 sodann F durch (30) in (/>i transformirt, so ist ebenso iunner 0^ -- f/>. 



Aus dem Umstände, dass demnach jede Function, die zu irgend einer 

 dieser zwei Klassen gehört, mit Hülfe einer gewissen Function der anderen 

 Klasse auf die Form eines bestinnnten Integrals gebracht werden kann, lässt 

 sich weiter folgern, dass jede solche Function auch mit Benidzinif/ ron F^mc- 

 fionen, die ihrer eigenen Klasse angehören, auf die mannigfaltigste Weise als 

 bestimmtes Integral ausgedrückt tverden kann. 



Die folgenden Entwickelungen setzen natürlich voraus, wenn mehrere FunC' 

 tionen derselben Klasse gleichzeitig verwendet werden, dass das System der 

 unabhängigen Variabein auf einen solchen Bereich beschränkt werden kann, 

 wo die fraglichen Functionen gleichzeitig als Functionen der betreffenden Klasse 



