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charakterisirt sind. Ist speciell von mehreren Functionen der zweiten Klasse 

 die Rede, so wollen wir annehmen, dass es für alle Functionen gemeisame 

 Intervalle «i r^ a <; a^ und bi<:b < bo, giebt, auf welche die zu den Ungleich- 

 heiten der Form (20) gehörigen, zwischen gewissen (Irenzen willkürlichen Ex- 

 ponenten a, b beschränkt werden können. Existiren solche gemeinsame Inter- 

 valle anfänglich nicht, so kann man durch Multiplication der resp. Fun(;tionen 

 mit passenden Potenzen der unabhängigen Variabein erreichen, dass sie solche 

 bekommen. 



Setzen wir, unter F, /', y Functionen der ersten Klasse verstehend, in 

 der Formel 



o+ioo 6+100 



(31) <P{x,y)^^ f ^^ { F{n,v)x^"rj-'' äudv 



2Stl t) 2sti J 



F (u, v) = f (tf, v) (] (n, v), was natürlich auf mannigfaltige Weise geschehen 

 kann, so giebt es nach der allgemeinen Theorie zwei Functionen der zweiten 

 Klasse tf' und ip', welche die Gleichungen erfüllen 



(f' {x, y) — ; f{u, v) x~" y~'' du dv, 



2m J 2xi J 



a~i<X) b — iX) 



(32) 



CO 00 



g{u,v)= j jtfj'{lv)r'-'v''~'ä-§ 



dti 







Setzt man diesen Ausdruck von // in (31) ein, so folgt durch Vertauschung 



der Reihenfolge der Integrationen 











Dieser Ausdruck kann schliesslich, wenn man die erstere der Formeln (32) 

 beachtet, folgenderweise geschrieben werden 



00 CO 



(33) ^(^,y) = j j'P'(yi]¥iiv)f'^. 







? V 



In dieser Formel sind also 9' und ip' die den Factoren von F (v, v) — 

 f {u, v) g (u, v) entsprechenden Functionen der zweiten Klasse. 



Hiermit ist die Richtigkeit unserer Behauptung erwiesen, dass jede Func- 

 tion der zweiten Klasse mit Hülfe von Functionen, die derselben Klasse 



