Zwei allgemeine Klassen bessinimter Integrale. 27 



angehören, auf inaiiiiiot'alti<>e Weise als bestinuntes Integral ausgedrückt wer- 

 den kann. 



Um dasselbe von den Functionen der ersten Klasse nachzuweisen, setze 

 man in der Formel 



CO XI 



(34) Fiu, V) = f f <l> (X, ij)x"-'y"-' dx dy 







(p (u; //) = (f (x, jj) (/' {x, y), wo (f untl ip Functionen der zweiten Klasse bedeuten. 

 Dann giebt es nach der allgemeinen Theorie zwei Functionen der ersten Klasse 

 f und g, welche die Gleichungen erfüllen 



/' («, ^) = J J y i^> u) '^ "~'u'' ^ (i^ d'y, 



u u 

 (35) 



o+lX> li + tcO 



2stl i' 2SII i' 



a—irc h — ('X) 



Setzt man diesen Ausdruck von ip in (34) ein, so folgt durch Vertauschung 

 der Reihenfolge der Integrationen 



a-}-iao Ä+»aO 



i^(".r) = " f-. \ <J{lh>l)dvd,i { \^{x,y)x'-''~^y"-^-'dxdy. 



2Stl J 2Stl <J J J 



a— 100 O-icD U 



Dieser Ausdruck kann, wenn man die erstere der Formeln (35) beachtet, fol- 

 genderweise geschrieben werden. 



«4-100 b-\-icC 



(36) F{u,v)^^ -- f (ti-p, v-q) y (p, q) dp dq 



2Stl J 2Stt J 



a — ICO l>~i(Xt 



In dieser Formel sind also /" und / die den Factoren von (p (x, y) = 

 (f (x, y) rp (x, y) entsijrechenden Functionen der ersten Klasse. 



Jede Function der ersten Klasse lässt sich also mit Hülfe von Functio- 

 nen, die derselben Klasse angehören, auf mannigfaltige Weise als bestimmtes 

 Integral ausdrücken. 



Man kann sich die Aufgabe stellen, die eine der Functionen (p und ri.' in 

 der Gleichung (33) zu bestimmen, wenn die andere und die Function gege- 

 ben sind. Es sei z. B. ip' die zu bestimmende Function. 



Zu dem Ende multiplicire man auf beiden Seiten von (33) mit x"''^ y''"^ dx dy 

 und integrire in Bezug auf beide Variabein zwischen den Grenzen o und oo. 



