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Vertauscht man auf der rechten Seite ilie Reihenfolge der Integrationen, so 

 ergiebt sich nach einer einfachen Substitution 



F{u,v) = f{u,v)g{u,v), 



wo i''' die durch (34), ij die durch die letztere der Gleichungen (32) luid /' 

 die durch 



f{u,v)- j I (f>' {x,y)x' ^ij' ^dxdtj 



detinirte Function bezeichnet. Weil '[> und </' gegebene runctionen bedeuten, 

 so sind F und /' und vermöge der obigen (lleichung auch // als liekannte Func- 

 tionen zu betrachten. Löst man also die letztere der (lleiclmngen (32) gemäss 

 dei' allgemeinen Theorie bezüglich ip' auf, so erhält man die gesuchte Function 

 ip' ausgedrückt in der Form eines bestimmten, über g (u, v) gebildeten Inte- 

 grals, wie es die letztere der Formeln (35) näher angiebt, wenn man daselbst 

 ip durch ip' und g' durch g ersetzt. Hierbei muss indes vorausgesetzt werden, 



dass die oben bestimmte Function a (n, r) = ^, ' , eine Function der ersten 



Klasse ist, was natürlich nicht immer der Fall zu sein braucht, obwohl F und 

 /' solche Functionen sind. Ist // keine Function der ersten Klasse, so giel)t es 

 auch keine Function ip' der zweiten Klasse, welche die Gleichung (33) erfüllt. 

 Ist aber g eine Function der ersten Klasse, so ist leicht zu finden, dass die auf 

 die angegebene Weise bestimmte Function wirklich die Lösung der Aufgabe bildet. 



In analoger Weise kann die entsprechende, auf die Gleichung (36) sich 

 beziehende Aufgabe behandelt werden. 



In der allgemeinen Form (33) sind gewisse für die Theorie der partiellen 

 linearen Differentialgleichungen wichtige Integrale enthalten. Sie gehen aus 

 (33) dadiu'ch hervor, dass man (f {x, y) nacheinander durch die Ausdrücke 



e-^-y und {\-xf{\-rjf 



ersetzt, während i/' (;t:, y) unbestimmt gelassen wird. Die so entstehenden spe- 

 cielleren Formen können bei der Integration partieller linearer Differentialglei- 

 chungen ebenso verwendet werden, wie die einfachen Integrale 



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UCi)- und f(i-- !)%/>(§) 



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