Zwei allgemeine Klassen bestimmter Integrale. 29 



schon längst bei der JiitegTatioii gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen 

 benutzt worden sind. Die Richtigkeit hiervon habe ich neulich in einer Arbeit 

 Über die l)itegratio)i partieller linearer Differentialgleichuvgen durch vielfache 

 Integrale (Acta Matheniatica Bd. 22) umständlich nachgewiesen. 



Auf eine entsprechende Weise können Integrale der Form (36) bei der 

 Ermittelung von Lösungen partieller linearer Dififerenzengleichungen verwendet 

 werden. Man nimmt etwa /' («, r) gleich einem aus Gammafunctionen der Form 

 r{jn H + n i: -\- c), wo m und n ganze Zahlen, gebildeten Producte oder Quo- 

 tienten an, und sucht die Function g (», v^) als Lösung einer solchen Difte- 

 renzengieichung zu bestimmen, dass F(u,v) einer anderen vorgelegten Diffe- 

 renzengleichung Genüge leistet. Hierbei brauchen die Integrationswege natür- 

 lich nicht innner so speciell zu sein wie in (36). 



Die Formel (36) transformirt demnach in zahlreichen Fällen die Lösung 

 g (i(, r) einer linearen Differenzengleichung in eine Lösung einer anderen eben 

 solchen Gleichung, während die Formel (33) dasselbe tür die linearen Diffe- 

 rentialgleichungen leistet. Hierbei brauchen die Litegrationswege, wie gesagt, 

 nicht immer so speciell gewählt zu sein wie oben. 



§ 7. 



In diesem § wollen wir zeigen, dass die in den §§ 2, 3 und 4 dargeleg- 

 ten Beziehungen auch unter gewissen allgemeineren Voraussetzungen in Betreff 

 der in Frage stehenden Functionen im wesentlichen noch bestehen bleiben. 



Wir setzen voraus, die monegene Function /'(«, r) verhalte sich regulär 

 in der Umgebung jeder endlichen Stelle im Inneren und auf der Begrenzung 

 des durch die Bedingungen 



tti ^ u' ^ «2» bi^v' ^ h^ 



definirten Bereiches des Systems u = n -\- i u", v = v -{- i v" und lasse sich für 

 unendlich grosse, diesem Bereiche angehörige Werthe n, v auf die Form bringen 



f{u,v)^\u\-<^\v\-'x{u\v',u",v''), 



wo Q und () positiv und beide grösser als Eins sind, während i eine positive 

 Variable bedeutet, welche für «i < u <: ag, Ih < v ^ b.^ und für alle reellen 

 Werthe von u" und v" unter einer endlichen Grenze M bleibt. 



