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Bildet man ilas Integral 



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(40) F (», ,•••,»„) = J •• ■ f <i> (X, , • . ., a;„) x^ •" -' ■■■ cc'!'-' dx, ■ ■ ■ äx,„ 







indem man das System der veränderlichen Parameter vfi, n.,, ■ ■ ■ ii„ auf den durch 

 die Bedingungen 



«',, + « ^ m' ^ a" s 1' = 1, 2, • • ., n 



charakterisirten Bereich beschränkt, unte)- f eine beliebig kleine aber bestimmte 

 Zahl verstanden, so ist dieses Integral von der Reihenfolge der Integrationen 

 unabhängig und stellt zugleich eine monogene Function von il^,n.^,.■■,1l.,, dar, 

 die sich in der Umgebung jeder endlichen Stelle im Inneren und auf der Be- 

 grenzung des genannten Bereiches regulär verhält. 



Für ohne Ende wachsende, demselben Bereiche angehörige Werthe der 

 Variabein v^ mrä das Verhalten unserer Function durch die Gleichung 



j F (Hl, M2, . . ., u„) I = X • e~^' ' ">" ' -^' I "^" 1 *« i """ I 



charaktrisirt, wo y eine unter einer endlichen Grenze bleibende Variable be- 

 deutet. 



Die so erzeugte Function (40) hat also genau dieselben Eigenschaften, 

 welche bei der am Anfange dieses § erörterten Function vorausgesetzt wur- 

 .den. Demnach kann mit Benutzung von (40) wieder ein Integral der Form 

 (37) gebildet werden, wodurch eine Function (p erzeugt wird, mit deren Hülfe 

 ferner ein Integral der Form (40) definirt werden kann, etc. Auf diese Weise 

 erhält man aus einer gewissen Function F oder doch keineswegs verschie- 

 dene Functionen F, und ebenso wenig verschiedene Functionen (fi. Rechnen wir 

 nämlich alle Functionen, welche die bei F erwähnten Eigenschaften besitzen, 

 zii einer ersten Functionsklasse, während eine 2iceite Klasse aus sämmtlichen 

 Functionen gel)ildet wird, welche die bei Ö> erwähnten Eigenschaften haben, so 

 entsprechen die Functionen der beiden Klassen einander eindeutig: jede Func- 

 tion F der ersten Klasse wird durch die Formel (37) in eine Function ffi der 

 zweiten Klasse transformirt, und umgekehrt wird auch jede Function fp der 

 zweiten Klasse durch die Formel (40) in eine Function F der ersten Klasse 

 ti'ansformirt. Wird F durch (37) in und sodann (f) durch (40) in F^ trans- 

 formirt, so ist stets Fl = F. Wird durch (40) in F und sodann F durch 

 (37) in 01 transformirt so ist ebenso immer (I\ = 0. 



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