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Aus dem Umstände, dass demnach jede Function, die irgend einer dieser 

 zwei Klassen angeliört, mit Hülfe einer gewissen Function der anderen Klasse 

 auf die Form eines bestimmten Integrals gebracht werden kann, lässt sich wei- 

 ter folgern, dass jede solche Function auch mit Benutzung von Functionen, die 

 ihrer eigenen Klasse angehören, auf die mannigfaltigste Weise als bestimm- 

 tes Integral ausgedrückt werden kann. 



Zu dem Ende seien F und (Z> zwei einander entsprechende Functionen 

 resp. der ersten und zweiten Klasse. Man setze einerseits F = f ■ g und zwar 

 so, dass f und g beide in demselben Bereiche regulär sich verhaltende Func- 

 tionen der ersten Klasse sind, was natürlich auf mannigfaltige Weise gesche- 

 hen kann. Bezeichnen nun (^' und ^' die bezüglichen, den Factoren /' und g 

 entsprechenden Functionen der zweiten Klasse, so kann durch (y und (/'' fol- 

 genderweise als bestimmtes Integral ausgedrückt werden 



00 CO 



(41) <P {X„ ■ ■ ; X„) = j • • • j </>' (f ' ■ ■ ■' j) '/'' (^I. • • ■> ?") ''Ï1 • • • '''^"■ 







Man setze andererseits </> = «p • i/» und zwar so, dass q und i/' beide Functio- 

 nen der zweiten Klasse sind, für die es gemeinsame Intervalle giebt, auf wel- 

 che die zu den Ungleichheiten der Form (39) gehörigen Exponenten a^ beschränkt 

 sind. Bezeichnen nun f und / die bezüglichen, den Factoren cp und ip ent- 

 sprechenden Functionen der ersten Klasse, so kann F durch f und g folgen- 

 derweise als bestimmtes Integral ausgedrückt werden 



a,+rOO rt/i + iOO 



(42) F(Ui, ■ ■ ; ?(„) =^^ J • • • J^ J /" {ni-Pi> • ■ -, ti.-lh,) ü ilh, ■ ■ ■, Ih.) dpi ■ ■ ■ dp,,. 



a, — icC rt„— 100 



In Betreff der vier Formeln (37), (40), (41), (42) verdient Folgendes hier 

 namentlich erwähnt zu werden. 



Die Formel (37) transformirt in zahlreichen Fällen die Lösung F einer 

 partiellen linearen Differenzengleichung in eine Lösung (p einer partiellen li- 

 linearen Differentialgleichung, während die Formel (40) das Umgekehrte 

 leistet. Die Richtigkeit dieser Behauptung Avird im folgenden § näher begrün- 

 werden. 



Betrachtet man etwa cf- in der Formel (41) als eine gegebene Function, 

 in dem man sie z. B. gleich e^^- ''" oder gleich (i-a:-i)":'. .(i-a:„)"" annimmt, 



so transformirt dieselbe Formel in vielen Fällen die Lösung */'' einer partiel- 



