Zwei allgemeine Klassen bestimmte}- Inteçirale. 35 



len linearen Diffeientialgleichung in eine liösung '/' einer anderen solchen 

 Gleichung. Die Richtigkeit dieser Behauptung findet sich begründet in meiner 

 neulich verfassten Arbeit j/ier die Integration partieller linearer Di/l'erential- 

 [ßeichungen durch rielfache Integrale (Acta Math. Bd. 22). Man siehe auch 

 meine zweite an demselben Orte publicirte Arbeit Über die Integration simultaner 

 linearer Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, wo die Methode der 

 Integration durch bestimmte Integrale auf Systeme simultaner Hnearer Differen- 

 tialgleichungen übertragen wird. Aus diesen beiden Arbeiten geht hervor, 

 dass die bestimmten Integrale nicht nur in der Theorie der gewöhnlichen (wie 

 es in der That schon längst geschehen) sondern auch in der Theorie der par- 

 tiellen lienearen Differentialgleichungen, gleichviel ob es sich von einer ein- 

 zigen Gleichung oder von einem Systeme simultaner Gleichungen handelt, den 

 Potenzreihen als Ausdrücke an die Seite gestellt werden können, welche sich 

 zur Darstellung der Lösungen solcher Gleichungen vorzugsweise eignen. 



Ebenso transformirt die Formel (42), wenn etwa /' eine gegebene, 

 z. B. eine Gammafunction ist, in manchen Fällen die Lösung / einer par- 

 tiellen linearen Differenzengleichung in eine Lösung einer anderen solchen 

 Gleichung. 



Die Formeln (.37), (40), (41), (42) sind demnach insbesondere deshalb 

 von Wichtigkeit, weil sie innige wechselseitige Beziehungen zwischen verschie- 

 denen linearen Differential- und Differenzengleichungen vermitteln. Bei den- 

 jenigen Aufgaben, wo es sich um die Auflösung solcher Gleichungen durch 

 bestimmte Integrale handelt, werden die genannten Formeln deshalb den na- 

 türlichen Ausgangspunkt der Untersuchungen bilden. Dabei brauchen die 

 Integrationswege nicht immer so speciell gewählt zu sein wie in den obigen 

 Formeln. 



Anmerkung. Ersetzt man in der Formel 



a + iT^ 



dx 



F{u)=jx-'j^^ J F{v)x-"dv 



X durch e"", so folgt 



+CO a+iXl 



^(")=^/ S ^''-'Fiv)dxdv. 



-CO a~ix> 



