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Specialisirte Untersuchuugeii. 



§ 9- 



In diesem Abschnitte wollen wir vom Gesichtspunkte der vorangehenden 

 Theorie aus einen zwischen den Gammafunctionen zweier Variahein und den 

 Lösungen gewisser partieller linearer Differentialgleichungen bestehenden Zu- 

 sammenhang etwas näher betrachten. 



In diesem § wird zunächst ganz allgemeinen erwiesen, dass Jede homogene 

 partielle lineare Differentialgleichung mit rationalen Coefficienten durch eine 

 Integralsubstitntion in eine homogene partielle lineare Differenzengleichung mit 

 einerlei Coefficienten formell transformirt tverden kann, und dass auch das 

 Umgekehrte möglich ist. 



Für gewöhnliche lineare Differential- und Differenzengleichungen hat La- 

 PLACE ') das erstere und Herr Pincherle ^) das letztere gezeigt. Unsere Nach- 

 weise sind Verallgemeinerungen der von den genannten Verfasser angewandten 

 Betrachtungen. 



Die Anzahl der unabhängigen Variabein wollen wir der Kürze halber 

 gleich zwei annehmen. 



Will man den zwischen den linearen Differential- und Differenzengleichun- 

 gen bestellenden Zusammenhang in formaler Beziehung deutlich übersehen, so 

 ist eine gewisse Symbolische Form zu berücksichtigen, auf die jede lineare 

 Differentialgleichung mit rationalen Coefficienten gebracht werden kann. 



') Théorie analytique des probabilités. 



') Sopra una trasformazione delle equazioni ditferenziali lineari in equazioni alle differenze, e 

 viceversa. Nota letta al Istitiito Lomb. nelP adunanza del 17 giiigno 1886. 



