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woraus sich die noch allgemeinere Formel sofort ergiebt 



/ f-a: —, -2/ — ) a;'* / (p = -^^ ( -^. ( /(?(. v) Fin + fi, v + v) x^" y -'' cht dv, 



* \ dx oyl 2SII J 2sti J ' ^ 



(") ('•) 



wenn f{w, r) eine ganze rationale Function von u und v bezeichnet. Ist nun 

 F{v, v) eine Lösung der Differenzengleichung (48), so giebt uns diese Formel 

 unmittelbar den Satz: 



Bedeutet F (u, v) eine Lösung der Differensengleichung (48), so besitzen 

 ivir in (49) eine Lösung der Differentialgleichung (46), wofern der in der 

 u-Ebene gelegene Integrationsiveg (u) îim die Strecken ), 2, ..., m und der in 

 der v-Ebene liegende Integrationsiveg (v) um die Strecken i, 2, ..., n m der posi- 

 tiven oder negativen Richtung der reellen Axe verschoben werden können, ohne 

 dass sich der Werth des Integrals (49) dabei ändert. 



Da jede homogene lineare Differentialgleichung mit rationalen Coefficienten 

 offenbar auf die Form (46) und jede homogene lineare Differenzengleichung mit 

 einerlei Coefficienten auf die Form (48) gebracht werden kann, so findet man 

 aus den obigen Sätzen, dass die Integration jeder solchen Diff'erentialgleicJning 

 stets auf die Lösung einer entsprechenden Differenzengleichung, und vice versa, 

 formell ziirückführbar ist. Ist die eine der einander entsprechenden Glei- 

 chungen (46) und (48) gegeben, so kann die andere unmittelbar angeschrieben 

 werden. Die obigen Sätze sind indes einer Discussion bedürftig, die sich nach 

 den besonderen vorhandenen Umständen richten muss. Denn es ist bei weitem 

 nicht einleuchtend, ob die Voraussetzungen der betreffenden Sätze immer reali- 

 sirt werden können, und auch wenn dies möglich ist, so bleibt noch übrig zu 

 untersuchen, ob die Auflösung der einen Gleichung vollständig geleistet werden 

 kann, wenn sämmtliche Lösungen der anderen als bekannt angenommen wer- 

 den. — In Betreff der gewöhnlichen hypei'geometrischen Differentialgleichungen 

 ist im dritten Abschnitte meiner oben citirten Arbeit über Gamma- und hyper- 

 geometrische Functionen nachgewiesen worden, dass das allgemeine Integral einer 

 jeden solchen Gleichung durch einen Ausdruck der Form 



: F{ii) X-" du + E (x, log x) 



23tt J 



(0 



dargestellt werden kann, wo F (u) einen mit Hïûîe åer Gamma f 11 nction gdnläe- 

 ten Ausdruck bezeichnet und R eine in Bezug auf log x ganze rationale Func- 

 tion ist, deren Coefficienten Potenzen von x in endlicher Anzahl enthalten. Um 



