Zirei allgemeine Klassen hestimmter Integrale. 47 



F(u + ^, V) = u{u-r_±l) j, 



Fin, v + :) = Hv-r'+i) ^^^^^ ,^)_ 



{n + f — «+ \){u + v — ß + 1) 



Die allgemeinsten Lösungen dieser Systeme besitzt man in den resp. fol- 

 genden Ausdrücken 



r{ti)r{ß-H). r{v)r(ß'-~v). r(u + v-Y + ^)r{a-u-v). p{u,v), 

 r(u)r{u~^r + \)r{ß~H). r{v)r{v~Y'+^)r(ß'-v). r{c(-n-v). P{u,v), 

 r{n)r(a-ii)r(ß-u). r{v)r{a'-v)r{ß''-v). r{u + v~r + ^)- p{u,v), 



I'{n) r{H~Y + ^)- r{v)riv^Y'+^)- r{a-u-v)r{ß-u-v). P{u,v), 



wo P (», 7') eine willkürliche Function mit den Eigenschaften 



P(n -\-\,v) = P{H, v) und P[n, f + i) = P(u, v) 



bedeutet. Je nachdem nun G (u, v) in (52) nach einander durch den ersten 

 zweiten, dritten oder vierten dieser Ausdrücke ersetzt wird, stellt also (p [x, y) 

 der Reihe nach eine Lösung des Systems [F-^, (Fo), (Fg) oder (F4) dar, wo- 

 fern zugleich die Integrationswege («) und (v) auf die in dem obigen Satze 

 angegebene Weise verschiebbar sind. — Ein paar solche Lösungen werden in 

 den §§ 15 und 16 näher besprochen werden. 



Eine eingehendere Discussion der beiden Systeme (51) und (53) im Zu- 

 sammenhange mit den Ausdrücken (50) und (52), wie z. B. die Beantwortung 

 der Frage, ob alle solchen Systeme der oben angegebenen Beschaffenheit durch 

 solche Ausdrücke befriedigt werden können, liegt ausser dem Zwecke der gegen- 

 wärtigen Arbeit. Wir machen vielmehr die genannten Ausdrücke unmittelbar 

 zum Gegenstand der Untersuchung, weil sie uns sehr allgemeine Beispiele von 

 Functionen darbieten, welche die im vorigen Abschnitte eingehend erörterten 

 Eigenschaften besitzen. Was insbesondere den Ausdruck (52) betrifft, so kön- 

 nen unbegrenzte gerade Linien, die der imaginären Axe parallel sind, in zahl- 

 reichen Fällen ^* als Integrationswege benutzt werden. In § 11 wird gezeigt, 

 dass diese Linien, wenigstens nach Multiplication des Ausdrucks G (u, v) mit 

 einer passenden ganzen rationalen Function, so angenommen werden können, 

 dass man sie in der positiven oder negativen Richtung der reellen Axe um die 



') D. h. wenn a, b und l'{u,v) passend beschränkt werden. 



