Zwei allgemewe Klassen hesHmmter Biterpale. 49 



unter tler Annalimc bestininit werden, das r/ und </' 'l'*" i'^^P- Grleichungen 

 befriedigen 



(55) f(x'!]cf = xf/(x^]<p 



dx) \ (b 



(56) 2^'X.Ki)'''"°' 



von denen die erstere eine gewölmlidie hj'^pergeometrische Differentialgleichung 

 ist. Es wird zugleich angenommen, dass rp und V im Sinne des § 6 Func- 

 tionen der zweiten Klasse sind. Daraus folgert man ohne Mühe, dass auch 

 eine solche Function ist. Gelingt es nun eine Differenzengleichung für die 

 der Function 'I> entsprechende Function F der ersten Klasse zu ermitteln, so 

 kann eine Differentialgleichung für (p nach dem zweiten Satze des vorigen § 

 unmittelbar angegeben werden. 



Multiplicirt man auf beiden Seiten von (54) mit x"~'^ dx, integrirt zwischen 

 den Grenzen x = o und x = œ und vertauscht auf der rechten Seite die Rei- 

 henfolge der Integrationen, so ergiebt sich nach einer einfachen Substitution 



Fiic) = f(tt)giu), 



wo F, f, g die den resp. Functionen <?, (p, »/* entsprechenden Functionen der 

 ersten Klasse bedeuten. Weil cf> und </' den resp. Gleichungen (55) und (56) 

 genügen, so befriedigen /' und g nach dem ersten Satze des vorigen § die resp. 

 Differenzengleichungen 



^(" + ') = -f^'^,5'(»), 



g{-u-\) 



il 



2jA(~ "-")/'(" + »') = 0- 



Aus diesen Gleichungen folgt durch eine einfache Rechnung, dass F — f-g 

 der folgenden Differenzengleichung genügt 



M 



5]/., (- » - ") fl^(- " - 1) • • • S' (- u ~ ")/(- " - ") • ■ ■/(- w n - 1) F{u -\- V) = o. 



