50 



Hj. Mellin. 



Nach dem zweiten Satze des vorigen § befriedigt also die entsprechende 

 Function (P der zweiten Klasse die Ditïerentialgleichung 



d 



-'o\ (iJ^r rfJ^'* 



d 



dx j' \ dx 



/(.£-« + ■)* 



+*/,(-£)(/(•■•■£ 



)fK)fk 



X 1 



dx 



dx 



■flx~-n + 2](p 



^■'VA4M4]ffi4.^¥-" 



dx, 



dx 



dx, 



d 



.fb---n + 3U> 



d.v 



— o, 



+ 



+ ''-fA4}ffi4}ffi4.+')0i'i+']-ffi4 + "-'}'^ 



dx. 



dxj' 



dx 



dx 



dx 



wofern die Voraussetzungen des genannten Satses zugleich erfüllt sind. 



Zu dieser Gleichung hin ich in meiner Arbeit Über cjeuisse durch bestimmte 

 Integrale vermittelte Beziehungen zwischen linearen Differentialgleichungen mit 

 rationalen Coefficienten auf einem anderen, umständlicheren Wege gekommen, 

 der aber wenigeren Beschränkungen unterworfen ist. 



§ 11- 

 An Stelle des Ausdruckes (50) betrachten wir den folgenden 



(57) G (h, v) =][ r{2) H + qv+ cj, 



welcher als specieller Fall in dem ersteren enthalten ist. 



Wird die Variable u = u' + i u" auf einen beliebigen, der imaginären Axe 

 parallelen Streifen («i < u' < «o) beschränkt, so wird das Verhalten der Gamma- 

 function für ohne Ende wachsende, diesem Streifen angehörige Werthe von u 

 durch die Formel ^) 



(58) 



r{u' + i «") = {u + i u"f 2 e- f I "" 1 1 V3 ^ + £ 



angegeben, wo ] e j eine gegen die Null abnehmende Grösse ist. 



') Man siehe § 6 meiner Arbeit Zur Theorie der linearen Differenzenf/leichiuiyen erster Ord- 

 nung. Acta Math. Bd. 15. 



