Zwei ttlhiemcine Klassen bestimmter Integrale. 51 



Betraditet mau mm einen Ausdruck der Form F {p u y q v -\- c), wo 

 u = u + i II", v = v' + i v" auf die resp. Parallelstreifen (a^ < u < a.,) und 

 (J)^ < v < b.,) bescliränkte Yarial)eln bezeichnen, so leuchtet ein, dass dieser 

 Ausdruck bei wachsenden Werthen von ! ti" \ und [ v" j dem absoluten Betrage 

 nach nicht umbedingt gegen die Null abzunehmen braucht, weil \2)u" + qv"\ 

 unter einer endlichen Grenze bleiben kann, obwohl man ' n" und ! i" \ wach- 

 sen lässt. Man findet aber doch, dass r{pit + qv + c-) jedenfalls die Eigen- 

 schaft besitzt, nach Multiplication mit passenden Potenzen von n und r dem 

 absoluten Betrage nach unter einer endlichen Grenze zu bleiben, wofern der 

 durch die Bedingungen («i < n < a,) und (ij <v' < h^ detinirte Bereich des 

 Systems n, v zugleich so gewählt ist, dass er keine Lösungen der Glei- 

 chungen 



pn -\- qv -^ c= — k, k = o, l, 2, • • -, ce , 



d. h. keine singulären Stellen von r{pti ^- qv -\- c) enthält. 



Aus dem soeben Gesagten folgt, das auch der Ausdruck (j (^^ /■), mit pas- 

 senden Potenzen von « und v multiplicirt, dem absoluten Betrage nach unter 

 einer endlichen Grenze bleibt, wofern zugleich das System u, v auf einen sol- 

 chen Bereich (a^ < u < a^, (by <,v' <, b^) beschränkt wird, wo sich keine Lö- 

 sungen der Gleichungen 



Ä = o, I, 2, . ■ ., X , 

 P^u + q^v + c^ = -'k 



»/ = 1, 2, • . -, «, 



tinden. Dass dies auf mannigfaltige Weise geschehen kann, ist leicht einzu- 

 sehen, wird sich aber auch aus dem Weiteren ergeben. 



Damit nun G (u, v) im Sinne des § 6 eine Function der ersten Klasse 

 sei, wollen wir voraussetzen, dass in G mindestens ein von v unabhängiger 

 Factor r{pi( + c), luid gleichfalls mindestens ein von n unalihängiger Factor 

 r{qv + c) enthalten ist. Bezeichnet r die Anzahl der von u allein abhängi- 

 gen Factoren, wobei F {p u + c) vermöge der bekannten Formel 



r{n «) = (2 sr) ^T-'n^-'-l r(u) F [u + ^V • • T (u + '* " ^ 



n / \ 71 



als ein p mal zu zählender anzusehen ist, und s die Anzalil der von v allein 

 abhängigen Factoren, so hat man nach der Formel (56) und der oben Dar- 

 gelegten 



I G {u, u) I = e" 5- ^ I «" ! - ^ ^' 1 "^" 1 X {u, v\ ii", v"), 



