Znei aUf/emcitie Klasi^eu bestimmter Inte(jraJe. 53 



R {u, ?;) = n i'p„ » + % V + c j 



multiplicirt irerdoi, dass sich das Prodnct R (m, v) G (u, r) in der Umgehmif/ 

 jeder endlichen Stelle im Inneren und auf der Begrenzung des genannten Be- 

 reiches regulär verhält. Dieses Product lässt sich, ebenfalls auf die Form 

 (57) bringen. 



Dieser Satz wird oftenbar erwiesen, wenn wir zeigen, dass er von jedem 

 einzelnen Factor des Ausdruckes G gilt. 



Betrachten wir zunächst die von u allein abhängigen Ausdrücke F {pu + c) 

 und F {c —p u). deren säuiintliche Unendlichkeitsstellen in den resp. arithme- 

 tischen Reihen 



t 



c c + l c + k 



P P P 



C C + 1 c -{-k 



p' p '"' p 



als Glieder enthalten sind, so tinden wir, dass der erstere Ausdruck durcli 

 Multiplication mit p u + c in F(p u + c + i), und dass der letztere durch Mul- 

 tiphcation mit c—pu in F{c+\—pu) übergeht. In beiden Ausdrücken 

 wächst somit c um eine Einheit. Dabei verschieben sich zugleich die sämmt- 



lichen Unendlichkeitstellen des ersteren Ausdruckes um die Strecke - in der 

 negativen Richtung der reellen Axe, während die des letzteren um dieselbe 

 Strecke in positiver Richtung rücken. Durch wiederholte Multiplication mit 

 solchen linearen Ausdrücken können also die Unendlichkeitsstellen des ensteren 

 Ausdruckes beliebig weit in der negativen und ebenso die des letzteren beliebig 

 weit in der positiven Richtung der reellen Axe verschoben werden, so dass 

 schliesslich die ersteren Stellen alle links und die letzteren alle rechts von dem 

 beliebig angenommenen Parallelstreifen (fti < u' < a.^ liegen werden. Hiermit ist 

 der Satz für solche Factaren F erwiesen, die nur die eine der Variabein u und 

 V enthalten. 



Die Richtigkeit des Satzes für Factoren der Form F {]) u + q v + c) er- 

 hellt ohne weiteres aus der Bemerkung, dass auch die Variable i =p\i -\- q v 

 auf einen gewissen Parallelstreifen von endlicher Breite beschränkt ist, wenn « 

 und V auf die Streifen (60) beschränkt wei'den. Nimmt man nun die ganze 

 Zahl k so gToss an, dass {z + c) . . .{z + c -\- le — ^) F {z -\- c) = F (s + c + k), 

 als Function von z betrachtet, in dem genanten Streifen der ^^-Ebene sich 

 überall regulär verhält, so verhält sich auch F{pu -\- qv + c + k), als Fnnc- 



