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erfüllen und die Integrationswege durch lauter reguläre Stellen liindurchlaufen. 

 Hier bedeutet d wieder eine unendlich kleine positive Zahl. 



Nehmen wir a und b positiv und zugleich so an, dass ihre Summe grös- 

 ser als cc ist, so ist der Werth des Integrals im übrigen von a und b unab- 

 hängig. Denn die Integrationswege können alsdann in der positiven Richtung 

 der reellen Axe beliebig weit verschoben werden, ohne irgend eine singulare 

 Stelle des Integranden zu überschreiten. Dieser Umstand lässt auf eine be- 

 merkenswerthe Eigenschaft unserer Function schliessen. Nach dem § 2 

 convergirt das Product x'' 7/ (x, y) — unter h und k beliebige, die Bedin- 

 gungen «1 <h < (12, bi<k < bo erfüllende Zahlen verstanden — gleichmässig 

 gegen die Null, wenn eine der Variabein x und y dem absoluten Betrage nach 

 ohne Ende wächst oder abnimmt, die andere mag dabei constant oder in ihrem 

 Bereiche beliebig veränderHch sein. Da fto und b.^ in dem gegenwärtigen Falle 

 beliebig grosse positive Zahlen bezeichnen dürfen, so findet man, dass 

 I x'' y''' {x, y) \, ivie gross auch die Zahlen h und k sind, gegen die Null abnimmt, 

 ■wenn eine der Variabein x und y dem absoluten Betrage nach ohne Ende 

 wächst, die andere mag dabei constant oder in ihrem Bereiche beliebig verän- 

 derlich sein. Unsere Function hat somit dieselbe Eigenschaft wie der Aus- 

 druck e"^'". 



Setzt man allgemein 



rt+lOO 



(62) (f {x, v; a) = ' \ F (u) F (n + v — a) x—' du, 



2sti J 



SO ergiebt sich leicht mit Benutzung des CAucHYSchen Integralsatzes und der 

 Formel (58), dass dieses in (61) vorkommende Integral gleich ist dem Inte- 

 gral <p (x, v; a — U), vermehrt um die Summe der zu den zwischen den Gera- 

 den n — a und u' = a — k gelegenen Unendlichkeitsstellen gehörigen Residuen 

 des Integranden. Die Zahl « lässt sich offenbar von vorneherein so annehmen, 

 dass die Gerade «' = a — k für k — o, 1, 2, • ■ -, ce durch keine Unendlichkeitsstelle 

 des Integranden hindurchgeht. Mit Benutzung der Functionalgleichung der 

 Gammafunction ergiebt sich, dass tp {x, v; cc — k) bei wachsendem k dem ab- 

 soluten Betrage nach gegen die Null abnimmt. Hieraus folgt, dass die soeben 

 erwähnte Summe der Residuen in eine beständig convergirende, die Function 

 (p(x,v; a) darstellende Reihenentwickelung übergehen muss. 



Die Unendlichkeitstellen des Ausdruckes r{u) r(ît + v — a), als Function 

 von u betrachtet, zerfallen in zwei arithmetische Reihen. Indem man die 

 zugehörigen Residuen berechnet findet man für cp die Reihenentwickelung 



