Znei all(jcmci)ie Klatiscn hi'b'timmter Integrale. 59 



und dies Integral nähert sich für | ^ | < i mit wachsendem n der Null, wie 

 man aus der Formel (78) in § 15 meiner Arbeit über Gamma- und liyper- 

 geometrische Functionen finden kann. 



Unsere Function (T> wird also durcli eine Summe von zwei Doppelreihen 

 dargestellt, wo die beiden Indices ,« und v unabhängig von einander alle posi- 

 tiven ganzzahligen Werthe von der Null an durchlaufen. Durch geeignete, 

 leicht zu findende Umformungen nehmen dieselben die Form einfacher Reihen 

 an, so dass man schliesslich die folgende, beständig convergirende Reihenent- 

 wickelung erhält 



Da dieser Ausdruck aus der Reihenentwickelung (63) des Integrals (62) 

 dadurch erhalten wii'd, dass man x durch x + // und v durch die Null ersetzt, 

 so hat man 



a+rn i+<00 



(68) 



Zuti J 2:iti J 



a + irr> 



_ r(H)r(H c<) (x -{- 1/)-" da 



2sti J 



Offenbar lässt sich die Function durcli die aus der Theorie der Bkssel- 

 schen Functionen bekannte Reihe 



V 



(69) FiY, X) = lim Hm pfa, (i, y, — W V 



folgenderweise ausdrücken 



(70) (x, y) = r{- «) F{1 + cc, x + u) + r{a) (X + u)-" F{\ ~-a,x + y). 



Weil der Ausdruck f{u, f) = i'(") 7'(') r{u + v — n) den Differenzen- 

 gleichungen 



f{u + ], r) = u (?( 4- V — c')f(u, r) und f(u, « + i) = r (?« + v — c) f(n, v) 

 genügt, so befriedigt das folgende System partieller Differentialgleichungen 



