Zwei allgemeine Klassen bestimmter Integrale. 65 



§ 15. 



Wir wollen nunmehr ein Integral der Form (59) befrachten, das nicht 

 mehr auf gewöhnliche hypergeometrische Functionen zurückgeführt werden kann. 

 In dem Integrale 



(74) «P;(a;, tj) — ~{ -^ \ ü {u, v) x-' y-" du dv 



2ni J 2 st i J 



sei ' 



G(îf,î;) = r{it)riu-Y -^ i)^'(/^"'0- r{v)r{v-Y' + i)riß'-v). r{a-u-v). 



Dann hat <Z> nach dem § 11 einen bestimmten Sinn, wenn die Argumente von 

 X und y beide zwischen den Grrenzen — V + ^ und + "2" — à liegen und die 

 Integrationswege durch lauter reguläre Stellen hindurchgehen. Hierbei bedeu- 

 tet å wieder eine unendlich kleine positive Zahl. 



Nach dem § 9 befriedigt f/> das folgende System partieller Differential- 

 gleichungen 



(75) 



dx\ ax I \ ox j \ ax oy ! 



'U'i^''-')''='K/-^'){'i-'-'4j^")" 



wofern die Integrationswege n = a und /'' = b in der positiven oder negativen 

 Richtung der reellen Axe beide um die Strecke Eins verschoben werden kön- 

 nen, ohne dass sich der Werth des Integrals dabei ändert. Damit nun diese 

 Bedingung erfüllt sei, wollen wir erstens voraussetzen, dass 



(76) a,a — Y + h ß — a, l}, l» — / + ^, ß' — l> und « — a — 6 > o 



sind, wo sich das Zeichen > auf die reellen Theile der betreffenden Grössen be- 

 zieht, wenn sie complex sind. In der «-Ebene liegen alsdann die Punkte ?< =^ o, 

 i( = ;- — 1 links und die Punkte u = ß, u = a — v rechts vom Integrationswege 

 u = a, unter v = v' + i v" ein beliebiger Punkt auf der geraden Linie r = h 

 verstanden. Ebenso liegen in der ?;-Ebene die Punkte v — o, v = y —i links 

 und die Punkte r = ß', v = et — u rechts vom Integrationswege v = h, unter 

 u — u + i u" ein beliebiger Punkt auf der Linie u = a verstanden. Setzen 



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