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wir nun zweitens voraus, dass die Entfernungen der genannten Punkte von 

 den resp. Integrationswegen so gross sind, dass solche Verschiebungen, wie sie 

 oben erwälmt wurden, mögUch sind, so befriedigt das System (75). Eigent- 

 lich sind aber die weiteren Entwickelungen von dieser Voraussetzung unabhän- 

 gig, sie hängen nur von jener Annahme (76) ab. 



Die partiellen Differentialgleichungen (75) sind, wie wir schon in § 9 fan- 

 den, mit den dort durch (i*,) bezeichneten Gleichungen identisch, deren allge- 

 meines Integral Herr Appell in § 12 seiner schon citirten Arbeit in der folgen- 

 den Form dargestellt hat 



(77) (f = AF^{a,ß,li',Y,Y\x,y) 



+ Bx'-^F^ (a^Y + hß-Y + hß',2~ y, /, X, y) 



+ Cy^-^" F^{a-r' ^^,ß,ß'-r' -\-hr,2~ r', x, y) 



+ Dx'-^y'-^' F,(a-y-/ + 2,ß-Y + ^,ß'~Y'+:,2-Y,2-Y',x, y), 



wo Fo die zweite der in § 9 der vorliegenden Arbeit angeführten Reihen F^, 

 F.,, F-i, Fi bezeichnet. Ordnet man Fo nach Potenzen von .r, so ergiebt sich 



CO 



(78) F, («, ß, ß\ Y, i, X, y) = y (''' ^]^^' '"'^ F{a + //,, (f, /, y) x^ 



WO F die GAusssche Reihe bezeichnet und (A, J<) = A (A + i) • • • (X -l- A: — i) ist. 



Weil die Reihen F keine beständig convergirenden Reihen sind, so stellt 

 der Ausdruck (77) das allgemeine Integral des Systems (75), und somit auch 

 das particuläre Integral (f>, nur in der Umgebung der Stelle x = o, ?/ = o dar. 

 Da die Schwierigkeiten, welche schon mit der analytischen Fortsetzung von 

 gewöhnlichen Potenzreihen verbunden sind, in erhöhtem Masse bei der Fort- 

 setzung von Functionen zweier oder mehrerer Variabein auftreten, so dürfte der 

 Umstand ein gewisses Interesse besitzen, dass man durch die Methode der 

 Verschiebung der Integrationswege vier verschiedene Reihenent Wickelungen er- 

 halten kann, welche das Integral (ß in den resp. Umgebungen der vier singu- 

 lären Stellen x = o,y = o; x = o, p = cc ; x — œ,y = o und x = ce, y = oo dar- 

 stellen. Bei dieser Gelegenheit wollen wir nur zeigen, wie man durch die ge- 

 nannte Methode eine in der Umgebung der Stelle x = o, y = o gültige Darstel- 

 lung der Form (77) erhält. 



AVir schicken zunächst ein paar zu solchen Entwickelungen erforderliche 

 Foi'meln voran. 



