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(86) m' ^ ai > o und v' ^ ö^ > o, «i + &i > / ~ i, 



so hat F(u,v) in dem so deflnirten Bereiche des Systems u, v keine im End- 

 1 gelegene 

 Setzt man 



liehen gelegene singulare Stelle. 



r{z-h) ^ ' 



und beschränkt die Variable z - s -'r i z" auf die durch die Bedingung s' ^ « 

 definirte Halbebene, unter a eine beliebige reelle Zahl verstanden, so ist | f | 

 eine bei wachsendem | z \ gegen die Null abnehmende Grösse ^). Werden also 

 die Oonstanten von F (u, v) den Bedingungen 



ß<o, ß' <o, a~-Y<;0 



unterworfen, so besitzt F(u,v) in dem ganzen durch die Bedingungen (86) 

 deflnirten Bereiche die oben erwähnte, durch (82) ausgedrückte Eigenschaft: 

 indem man jetzt hat 



(87) F(u, v) = M^"' v^'~' {u + vf~^ (1 + *), 



wo I f I eine unter einer endlichen Grenze bleibende, bei wachsendem | k \ oder 

 I V I gegen die Null abnehmende Grösse ist. 



Was nun die Darstellung von F (u, v) durch die in § 3 deflnirten Inte- 

 grale P betrifft: 



F{u, «) = Pn {u, w) + P,2 (u, v) = P21 ("'. ^0 + -P22 {% v), 



so lässt sich zeigen, dass die drei Functionen P12, P^i, P22 "^ <lem gegenwär- 

 tigen Falle identisch verschwinden. Denn einerseits lassen sich offenbar die 

 Integrationswege u = ag und v = Jg in positiver Richtung unbeschränkt ver- 

 schieben, ohne dass sich die genannten Integrale dabei ändern, und aus der 

 obigen Formel (87) flndet man andererseits vermöge der über die Constanten 

 von F(u,v) gemachten Annahmen, dass der Integrand längs der ganzen Inte- 

 grationslinie (y' = (1.2 oder v — h,) dem absoluten Betrage nach gleichmässig 

 gegen die Null abnimmt, wenn dieselbe ohne Ende in positiver Richtung ver- 



') Man siehe § 3 meiner Arbeit Zur Theorie der linearen Differenzengleichiingen erster Ord- 

 nung (Acta Math. Bd. 15). 



