JL'ans cette étude nous allons nous occuper des équations linéaires aux dérivées 

 partielles de la forme 



(0 W) = x,^+x.| + + X^ = o, 



où A'i . A'., , . . . X„ sont des fonctions analytiques, développables suivant les 

 puissances entières et positives de Xi,X2, ■■■, x„ , et s'annulant toutes pour 

 Xj^ = x.2 = --- = x„ = o . En faisant un changement de variables linéaire on poui-ra, 

 en général, réduire les coefficients de (i) à la forme 



Xi = XiXi— Y; (i- i,2,...,w), 



où les A sont des constantes et les Y des séries suivant les puissances de 

 Xi . . . .'■„ , ne contenant plus de terme du premier degré. Marquons sm- un plan 

 les points dont les affixes sont ^i , Ao , . . . , A„ , et supposons remplies les deux 

 conditions suivantes : 



(a) On peut mener par V origine une droite laissant tous les points X d'un 

 même côté; 



(b) Il n'existe aucune relation de la forme 



^i = Ih h + lh^2 + H V" ^" - 



PijP2j ■■■jP,, désignant des entiers positifs ou nuls dont la somme soit supé- 

 rieure ou égale à deux. (Cette condition n'exclut pas Tégalité de deux ou 

 plusieurs constantes X). 



M. PoiNCARÉ a démontré ') que, dans le cas où les deux conditions (;i- 

 dessus sont remplies, l'équation (i) admet w— i intégrales distinctes: 



') H. PoiNCARÉ: Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux- différences 

 partielles (Thèse pour le doctorat, Paris 1879). — Voir aussi: E. Picard: Traité d'Analyse (Tome III, 

 Chap. 1). 



