EkNST LlNÜEIiÜF. 



T, 



T, 



T' 



T, 



T, 



on Ti, To, ,T„ désignent des séries suivant les puissances positives des x, 



dont les termes du premier degré se réduisent respectivement à j\ , :*•.. , . • . , x„ 

 et qui sont convergentes tant que les modules des x restent suffisamment petits. 

 Ces séries véiifient d'ailleurs les équations 



X{T,) = l,T: 



(i= 1,2, 



n). 



Il nous a paru intéressant d'examiner comment se modifie le résultat 

 précédent dans le cas plus général oîi, l'hypothèse (a) étant toujours vérifiée, il 

 existe entre les constantes X des relations linéaires de la nature indiquée ci- 

 dessus. En suivant la voie tracée par M. Poincaké, nous avons réussi à 

 intégrer complètement l'équation (i) dans ce cas et à établir ainsi le théorème 

 énoncé au n" 7. Il est évident que ce théorème renferme le résultat obtenu 

 par M. Poincaké dans le cas où les hypothèses (a) et (b) ont lieu simulta- 

 nément. 



Les résidtats auxquels nous sommes arrivé enti-aînent des conséquences 

 intéressantes lelativement au système des équations différentielles oi'dinaires 





X, 



dXn 



x;/ 



que nous écrirons sous la forme suivante: 



dxi ,. 



(' 



■,«), 



t étant une variable auxiliaire. Nous allons démontrer en effet, au n" 8, que dans 

 les hypothèses où nous nous sommes placé, les solutions générales de ce système 

 sont développables suivant les puissances entières et positives des arguments 



<^''., t^"',..., ^-A-, logt., 



en désignant par A,., , 2,.^ , . . . , A,,^ celles des constantes /L qui ne dépendent pas 

 linéairement des autres. 



Au moment de commencer la rédaction des pages qui suivent, nous avons 

 eu connaissance de l'important mémoire de M. Hokn récemment paru dans le 

 Journal de Grelle ^). L'auteur y établit, sur les systèmes d'équations différen- 



') J. Horn: üebcr die Reihenentwickehivr/ der Integrale eines Systems von Bifferenüalgleichwu 

 yen in der Umgehung gewisser singtilärer Stellen (Band 116). 



