Sur les intégrales des êquatioiis différentielles. 5 



tielles ordinaires, des théorèmes, d'une grande généralité, et montre, en particu- 

 lier, comment on peut calculer directement, par la méthode des coefficients in- 

 déterminés, les séries dont nous avons démontré l'existence. — Bien que sui- 

 vant une voie essentiellement difterente, notre recherche présente naturellement 

 plusieurs points de rencontre avec celle de M. Horn. En développaiit des 

 questions analogues, nous n'avons pas hésité à adopter la terminologie si com- 

 mode du géomètre allemand. 



1. Soit donc donnée l'équation linéaire aux dérivées partielles 



(0 X(/)^X,^^ + X,^^ + + ^4,=o^ 



où 



Xi = Xi Xi — Yi (i= l,2,--- , II), 



les 1' étant des séries suivant les puissances entières et positives de j\ ,x2, ■■■, .'"„ , 

 convergentes lorsque les modules de ces variables sont suffisamment petits et ne 

 contenant que des termes de degré supérieur au pi'emier ; quant aux constantes 

 X, nous les supposons assujetties à la seule condition (a). 



En suivant la marche indiquée par M. Poincaré, nous aurions à chercher 

 une série de la forme 



"2 . . . j?'n 



satisfaisant à l'équation X (/) = X, f, que nous mettrons sous la forme 

 En y substituant à f la série (2), on trouve 



où Pv^v^-y,, (^) ^^^ ^^^^ fonction entière et rationnelle des coefficients de l^i, • ■• , Y„ 

 et des constantes 



en égalant, après la substitution, les coefficients de ./■"' ./"^ . . . a-^" dans les deux 

 membres de l'équation (3), on aura donc 



