6 Eknst Lindelöp. 



(4) (^i '■• + ^2 "2 + ■■■ + K v„ - A,) C,,^,^..,^^ = K,v,...W) 



O'i + ''2 + ... + ,'„> 2), 



relations de récurrence qui devraient servir à la détermination des C. Or il 

 peut y avoir un certain nombre fini de l'elations 



A,. =^>f'A,+;,fA, + ...+;/«A„ (,..= 1,2,...), 



les p étant des entiers positifs ou nuls tels que 



2^r+2>-f+ +^r^2. 



Dès lors, dans les relations (4) les facteurs numériques des coefficients 



s'annulent, et l'on serait donc arrêté dans le calcul, à moins que le second 

 membre de (4) ne disparaisse en même temps que le premier, ce qui n'arrive 

 que dans des cas exceptionnels. Il est donc, en général, impossible de satisfaire 

 à l'équation X (/ ) = À, /' par une série de la forme (2). Mais on pourra 

 toujours trouver une fonction (f; développable suivant les puissances entières et 

 positives des jc : 



telle (lu'il soit possible de satisfaire formellement à l'équation 



(5) Xf=hf+(f. 



par une série de la forme (2). En effet, en écrivant cette équation sous la 

 forme 



et substituant à /' la série (2), nous aurons, pour calculer les coefficients C, les 

 relations suivantes : 



(6) a, r, + X,r, + ... + k„ V,. - X.) C;,,,..., = P,, ,^..., (C) + r,,,,,...,,^ . 



Nous disposerons des quantités ^ri^^ ■••j/„ en sorte que le second membre s'an- 

 nule en même temps que le premier, ce qui est toujours possible et n"implique 

 qu'un nombre fini de conditions. Alors le calcul des coefficients C se fera de 

 proche en proche, sans qu'on soit jamais arrêté. Seuls les coefficients 



(7) ^'(^)„(W nW (^. = l,2,...) 



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