Sur les inti'grales des ('quafions diff('rentielles. 7 



resteront arbitraires. Si nous convenons d'égaler à zéro ces coefficients, nous 

 aurons mip série satisfaisant formellement à Vvquation (5) et ne contenant plus 

 rien (f arbitraire; nous la désignerons i)ar F. 



'2. Il s'agit maintenant de prouver la convergence de la série F, que 

 nous venons de former. A cet effet, nous faisons d'aboi'd remaniuer, avec M. 

 PoiNCARÉ, ([u'il existe un nombre positif f tel que l'expression 



^1 Vi + ^2 ''2 + + ^»V n — ^i 



^ ' V, +i'2 + + v,.- 1 



restera supérieure à t en valeur absolue dès que i'i + ('2 + + v„>N, en 



désignant par N le plus grand des nombres entiers positifs 



/>r+/'f + +pT' (^ = 1.2- )• 



Eu effet, en écrivant cette expi'ession sous la forme 



^1 n + >^2 ^2 + — h ^n y,, ^ 



^1 + ^2-1 h n Vi + ^2 H y y» 



1 



Vi + Vj H \- Vn 



on voit ({u'elle tend vers 



hv i + hVi-\- ■■■ + ^« V« 

 "1 + "2 H + v„ 



lorsque ri + î-o H h v„ augmente. Or cette dernière expression est l'afflxe du 



centre de gravité de masses égales à l'i , l'a , • • • , v„ respectivement i)lacées aux 

 points /Il , /9 , ■ ■ ■ , A„ , et d'après l'hypotbèse (a), son module aura donc une limite 

 inférieure différente de zéro. D'ailleurs, tant que l'i + i'2 H V r„> N , le nu- 

 mérateur de (8) ne s'annule pas. L'existence du nombre t est donc démontrée. 

 Soient ?i , . . . , F„ les séries obtenues en remplaçant respectivement dans 

 Fi,...,F„ tous les coefficients par leurs modules, et désignons de même par y 

 la série 



On pourra fixer un champ de convergence commun des séries Fj, Y.,,---, Y„, (p, 



soit 



(9) \x,\ < r (/<;= 1,2,. ■•,«). 



Soient M^, 3L, ..., M„,(p les valeurs de ces séries pour :i\ = x.2 — ■■■ — ■j-„ = r , 



ou, ce qui re^^ent au même, leurs plus gi'andes valeiu's absolues dans le champ 



(9), et posons enfin 



J/i + il/2 H h M„ ~ M. 



