8 Ernst Lindelöf. 



Ces Conventions faites, nous allons comparer la série F à une autre série 



F=r-4- V Ö /'/'..-er"« 



V, +-- + l'„ = 2 



formée comme nous allons le dire. Ecrivons 



les Pv^--v„ étant les mêmes fonctions par rapport aux C et aux coefficients des 

 séries F,,..., Y„ que les -?„,..„„ par rapport aux C et aux coefficients de 

 Y^,...,Y„. Nous donnerons aux constantes 



des valeurs positives quelconques supérieures aux modules des coefficients cor- 

 respondants CV,„,r„ de la série F; puis les autres constantes G seront déter- 

 minées par la formule de récurrence 



(11) s{v, + ,<, + ... -t- v„ - 0,,,^..,,^ = P,^„^..,^_ (C) + I ^,^,,_..,^_ I 



Le rapprochement des formules (ii) et (6) nous fait voir que 



quels que soient les indices c,, »•,,,..., i-,,. En effet, le second membre de (n) 

 sera constamment supérieur au module du second membre de (6), et d'autre 

 part on a, d'après ce que nous avons dit plus haut, 



* (''l + V-1+ ■■■ + V„~ \) < Al )'i + -^2 »'2 H + ''•« v„ - h I 



dès que i-i -j- i-o H 1- r„ > iV. Nous pouvons donc affirmer que la avrie F 



est certainement convergente dans le champ où converge la série F. 



3. Etant donnée une expression quelconque /' développable en série sui- 

 vant les puissances entières et positives de Xi, x-,, ■■■ , ^„, nous désignerons par 

 [ / ] l'ensemble des termes de cette série de degré inférieur ou égal à fi . En 

 particulier nous écrirons 



F - r,- + V r; r'"' . ■ . /" 



