Sur les hitrgrales des équations différentielles. 11 



fl + l /M("+2 



fi+i 11 



(15) iJi""[l+«,(^) +(l + «,)«^+i(';) + 



ft\^'^" 

 + (1 + «,.) (1 + «^+l) ••■(!+ "V+i-l) «^ + ,- i^J.j + 



tant que la valeur de t reste comprise entre o et r. Or, les termes d'ordres 

 (j + ? + 2 et (i + i+ i de cette dernière série ont le l'apport 



O) 



'ft+i t 



il/ , , 



Lorscjue i augmente, « ^ tend vers — , en sorte que le rapport précèdent 

 tendra vers la limite 



'+.-)-■ 



£ rj r 



La série (15) est donc convergente dès que 



r 



t< 



'+rr 



et d'après ce que nous venons de dire, il en sera de même de la série (14), 

 ou bien de la série F. En remontant au n" 2, nous pouvons donc aftirmer 

 que la série F converge certainement lorsque 



k. I < * jy- (i= 1,2, ••■,«), 



'+rr 



et qu'elle nous foimiit, par suite, une intégrale holomorphe de Véquation (5), 

 ce que nous voulions établir. 



La démonstration que nous venons de donnei' est encore valable, si au 

 lieu d'égaler à zéro les constantes (7), on leur donne des valeurs fixes quel- 

 conques. La série F aura toujours le même champ de convergence. 



4. Avant d'aller plus loin, il nous faut classer les nombres X^ , A2 ■ ■ • , À„ 

 d'après la nature des relations linéaires qui les lient entre eux. Pour abréger 

 le langage, nous appellerons combinaison linéaire ou simplement combinaison 

 toute expression 



Ih h+lhh + -\-Pni-H, 



oi\ Pi,p2,--, Pn sont des entiers positifs ou nuls dont la somme est supérieure 

 à l'unité. 



