Sur les hit r (/raies des équations différentielles. 13 



les combinaisons linéaires qui sont égales à A,, l'our chaque indice f/ nous 

 formerons la somme 



laquelle se réduit crailleurs à 



fi, li+l> J^i, (1+2 ' I J'i, h ' 



l'i sera, d'après détinition, le nombre ol)tenu en ajoutant l'unité à la plus grande 

 de ces sommes; nous pouvons donc écrire: 



D'une manière générale, étant donné un nombre X,, de la classe d'ordre m, 

 nous formerons toutes les combinaisons linéaires 



é<|uivalentes à A^., et nous poserons 



r, = max. [pf^ v, + )/^ ., + •.. + pS„._/,,„_ J + l , 



formule (jui détermine par récurrence tous les nombres v, une fois qu'on aura 

 uxé ceux de la première classe. 



A l'exemple de M. Hohn, nous attiibuerons encore à toute combinaison 

 linéaire 



Ih ^1 + P2 ^2 + +Pn K 



un certain /'«w^, détini par l'expression 



l\ ''l + î'2 »'2 + + Vn V„ . 



Nous allons démontrer que, parmi les combinaisons linéaires équivalentes à 

 A, (è = 1 , 2 , . . . , w), il en existe de chacun des rangs 



V,— 1, V,- 2, ,2, 1,0. 



La proposition est évidente pour les nombres A des deux premières classes. 

 Supposons la démontrée pour les m- i premières classes, et soit, comme plus 

 haut, Aj. un nombre compris dans la classe d'ordre m. D'après la définition 

 même du nombre j^., il existe au moins une combinaison linéaire de rang iv,— i 

 dont la valeur est égale à A^. En y remplaçant quelques-uns des A par des 

 combinaisons équivalentes, on en déduira des combinaisons égales à X^ et 

 ayant un rang inférieur à v^— i . Soit 



2lAi+Î2'^2H h?;,^;, ('/;,>0; /i</i^/„.-l) 



