14 Ernst Lindelöf. 



une telle combinaison de rang rt — «; on pourra en tirer, de différentes maniè- 

 res, une combinaison de rang i^. — s — i égale à X^.. par exemple en remplaçant 

 l'un des q,, termes X/, par une combinaison équivalente de rang v,, — i . Par 

 suite, en partant de la combinaison de rang /';;. — i , on pourra, par des substitu- 

 tions convenables, successivement abaisser son rang à v^ — 2 , r^, -3, ...,2, 1,0. 

 — La proposition est donc vraie pour les nombres X compris dans la classe 

 d'ordre m, si elle l'est pour les classes inférieures, et comme nous Tavons 

 vérifiée pour les deux premières classes, elle s'appliquera, par suite, à tous les 

 nombres X. 



5. Nons allons maintenant tirer parti du théorème démontré aux numéros 

 1 — 3. Puisque, d'après l'hypothèse, les nombres Ai, Ij, ... , A,, ne s'expriment 

 par aucune combinaison linéaire, nous pouvons affirmer tout d'abord que les 

 équations 



X{f) = X,f, X(f) = X,f, , Xif) = X,,f, 



admettent respectivement pour intégrales des séries Ti, jHj, . .., T,, , dont les 

 termes du premier degi'é se réduisent respectivement à iCi, ^t'a, ..., .t,,, et qui 

 convergent tant que les modules des x restent suffisamment petits. 

 Soit maintenant 2,, un nombre de la seconde classe, et soient 



ï^^i+ï'i^^^+ +P)ai^» (^, = 1,2,...) 



les combinaisons linéaires égales à X,,. Nous formerons l'expression 



-lA^' 



• ^2 "h 



les K désignant des constantes qui seront déterminées tout à l'heure, et nous 

 chercherons à satisfaire à l'équation 



X(f) = X,j + ,p 

 en faisant 



ce 



(16) /=^.+2]C.-„^r'^^"-*r"- 



Pour que le calcul des coefficients C soit possible, il faut et il suffit que, dans 

 les formules analogues aux formules (6) du n" 1, le second membre s'annule 

 chaque fois que les indices l'i, l'o, •••, »'„ se confondent avec l'un des systèmes 



m"** 1/''* i)"** lu - l 1 ...■> 



V},\ ' Phi > ' Pi,,i^ \r — 1 . -^; • • • ; • 



