Sur les intégrales des équatimis différentielles. 15 



Or, on ti-ouve, en conservant la notation du n° 1 : 



*'p(W...«(w'"-^'' + ' 



OÙ les ternies supprimés ne dépendent que des constantes K^ telles que 



^ + - + t^.<r^l^- + ï^r 

 On pourra donc disposer des constantes K de manière à satisfaire successive- 

 ment à toutes les conditions indiquées, et réciproquement ces constantes se 

 trouveront par là même entièrement fixées. Nous désignerons par — 2.',, Tex- 

 pression (f> où Ton aura déterminé les valeurs des constantes K comme nous 

 venons de le dire. 



En somme, on pourra donc calculer une séiie (i6) satisfaisant formelle- 

 ment à l'équation différentielle 



(17) X(/) = >l;,/^-2;, 



et, d'après le théorème démontré au début, nous pouvons affirmer que cette 

 série converge pour les valeurs des x de modules suffisamment petits. Elle 

 contient d'ailleurs les constantes arbitraires 



(18) <^lw...««') (/t= 1.2,...). 



En les égalant à zéro, nous aurons une intégrale de noti'e équation qui ne 

 contient plus rien d'arbiti'aire; nous la désignerons par T,,. 



Remarque. Chacune des expressions 



vérifie évidemment Téquation différentielle X (/) = l,, f. On en conclut que 

 l'intégrale de l'équation (17), qu'on obtient en laissant arbitraires les constantes 

 (18), peut s'écrire 



les &^' désignant de nouvelles constantes arbitraires, qui sont des fonctions li- 

 néaires des constantes (18). 



Le raisonnement précédent s'applique sans aucune modification aux nombres 

 À des classes supérieures. Nous pouvons donc affirmer qu'o« peut former n 

 séries bien déterminées de 'j\, œ>, ■.-, x„: y'^i*^À?^ 



,,, „(f*) 0(1") 



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