Sur les intéffrales des équations différentielles. 17 



6. En désignant par / uiic variable auxiliaire, posons 



x(/, = x<nH-«f = x,;v:^ + ^.|:+'|; 



nous allons chercher une intégrale de chacune des tuiuations ditiférentielles 



cy) X(/) = /./' 0'=i,2, ,«)• 



Les /i premières équations: 



X (/■) = A, f, X (/•) - A, /•, , X(/) = / jv 



admettent respectivement pour intégrales les séries 



T\, T^, , ?)i . 



Soit maintenant X,, un nombre de la seconde classe; nous savons former une 

 série T,, , telle que 



(20) X {T„) = X {T„) = h T,. - S„ , 



où E,, se compose exclusivement de termes de poids X,, et de rang zéro. Oi-, 

 on a 



X (Tf ' rf ^ . . 7;f '■ ) z= ( p, A, + ^, A, + . . . + m. A,. ) t/'' jf ^ • • T,f ' , 



c'est-à-dire qu'en effectuant sur un terme quelconque de rang zéro l'opération 

 indiquée par le symbole X (/) , le terme se trouve simplement uuiltiplié par son 

 poids. On en conclut 



x(2;,) = A;,i;;,, 



d'où il suit 



(2 1 ) X (Z'„ ■ log = h V,, . log < + 2^;, . 



En ajoutant les équations (20) et (21), il vient: 



X (T;, + Ä . log = A;, {T,, + 2^ . log /) . 

 Donc, les équations 



-^'1+1 (/") = '^'1+1 f, ) ^h if) - ^'il ' 



admettent respectivement pour intégrales les expressions 



T,.+i + 2\+i . log ^ ,, r,, + s, . log t . 



Passons maintenant à l'étude de l'équation 

 (^2) X(/) = /./■, 



