Sur les intégrales des équations différentielles. 19 



ont tous le poids X^. et un rang inférieur ou égal à r,, — ;/ . 11 est évident dès 

 lors (jue ,i^.<r^.^, dans le cas général, lorsque certaines relations particulières 

 n'ont pas lieu, on auray^. = i\.. 



Il est maintenant facile de former une intégrale de récjuation (■22). En 

 effet, on aura successivement: 



X(n)=.A, 7-,-Äi, 



X (21. 1 . log O = h 2.;. 1 • log ^ - Ä 2 • log / + 2V 1 , 

 — / loe'^ A , loa^ / lo"'^ t 



xi y . ^ - = A,, yji.o . -^*'-- - 2,.Q — — + y, ., . lo« / 



4-2 i 



— / lo<'"'*A . lo"''*/ l()o'*~'< 



En ajoutant toutes ces équations, on trouve 

 où /1. désigne l'expression suivante: 



/i- - -Z A- + -^A 1 • log < + 2*2 • —., - + + A-, ; . —T~r- . 



Cette expression nous fournit donc l'intégrale cherchée de l'éiiuation (22). 



Le raisonnement qui précède s'applique sans modification aux autres équa- 

 tions (19), et nous saurons donc former une intégrale de chacune d'elles. Or, 

 l'équation X (/) = X^. f admet encore l'intégrale évidente t^K On a donc les 

 deux égalités suivantes: 



d'où l'on tiie 



^(l)= 



lv\^ 



{t'ic) 



= O, 



c'est-à-dire que l'expression '*- est une intégrale de l'équation X(/') = o. 

 Nous avons donc démontré la proposition suivante: 



