Sur les integrales des équations différentielles. 21 



Passons maintenant anx autres intégrales (23). Il pourra arriver, clans 

 des cas particuliers, que certaines de ces intégrales ne contiennent pas de terme 

 logarithmique, et alors l'équation proposée admettra encore d'autres intégrales 

 de même forme que celles que nous venons d'écrire. Mais, ce qu'il importe 

 d'observer et dont on se rend facilement compte, c'est que, s'il figure réelle- 

 ment des termes logarithmiques dans l'une quelconque tles intégrales (23), il y 

 aura nécessairement une intégrale au moins, où log t n'entre qu'au premier 

 degré. 



Pour fixer les idées, nous nous placerons désormais dans le cas où cha- 

 cune des /2— /1 intégrales (23) du second groupe contient eftectivement un terme 

 logarithmique. Nous avons montré que 



X(2;) = A;,2;, (/, = ?. + !,.. .,7,), 



2.', 

 d'où il suit que l'expression ~ satisfait à ré(iuation X (/') = o . Cette équa- 



tion admet donc aussi les intégrales 



T, + ^,r\ogt 2;,, T, 



ï : -j- := — + log < (A = '1 + 1 , ■ ■ ■ , ?2) ; 



en l'etranchant la dernière de ces intégrales {h = /2) de chacune des précédentes, 

 nous trouvons les /2— '1 — 1 expressions suivantes: 



(25) % -^ (A=^+i,-.-^-i), 



lesciuelles, étant indépendantes de t, vérifient toutes l'équation proposée. Une 

 autre intégrale de cette équation se déduit en partant de l'expression 



V' = ^ + log t . 



En effet, on trouve 



T 



et en multipliant par ~ , 



t^' 







