22 Ernst Lindelöf. 



L'expression 



(26) Ti • (■ ^h 



nous fournit donc aussi une intégrale de l'équation (1). 



Occupons nous maintenant du troisième groupe (23). En désignant par (/' 

 la même expression que ci-dessus, nous pouvons écrire: 



S,,.\ogt + 2J, 2 . log^ t + --- + &,j^. ■ '^ = /?, + 7?, ,f + B^.,>p' + ... + B rl^ , 



les B représentant des fonctions rationnelles des T, qu'on peut calculer en 

 égalant successivement les coefficients des diverses puissances de log^ dans les 

 deux membres de réquation précédente. Après cette substitution, les intégrales 

 (23) du troisième groupe deviennent: 



T,-\-R,., i?.. , R,o ■> ^k,J, ; 



^k— + j^-'^ + jt-'^~-^ + -^r^'' (/.-.^. + 1,-,«). 



En écrivant que cette expression satisfait à l'équation X (f)-o, et obser- 

 vant que ip est une intégrale de la même équation, on trouve 



^(^^+^m-*^ ^^m-*"-°- 



Or, puisque cette équation doit être identique, il faut que les coefficients des 

 diverses puissances de log t s'annulent séparément ; on aura donc successivement : 



et par suite 



^m-' ■•^©=- 



--(^M=° 



Les expressions 



(27) ^^i {k = h+l,...,n), 



vérifient donc l'équation difterentielle X (/') = o . 11 en est de même des ex- 

 pressions 



(28) :^ {k = i,.+ i,...,t,), 



