Sur les intéfinûes des équations différeiUielles. 23 



puisque, d'après ce que nous avons dit plus haut, la somme 2',,,;^ se compose 

 exclusivement de tei'mes de poids A^. et de rang zéro, en sorte que 

 A'(2\ ;^) = Aj 2.).,^^ '). En divisant {27) par ('-Jîs), nous trouvons l'expression 



laquelle, étant indépendante de f, véritie nécessairement l'équation (1). 

 Ecrivons 



V = _ ^^^ 



P,, et Qi- étant des polynômes par rapport aux T. Il est facile de voir que 

 Qi, ne contient que 1\,T.,,--, 7',, , et que dans P^ ne figurent que Ti,T.,,..., T,^^^^ , 

 III étant l'ordre de la classe à laquelle appartient A<. D'ailleurs les termes de 

 ces deux polynômes ont tous le même poids. 



En résumé, nous avons donc démontré le théorème suivant: 



Véquation différentielle 



admet en génénd, sous les hypothrses adoptées, les n — i intégrales suivantes, 

 divisées en trois catégories essentiellement distinctes: 



(«) 



iß) 



(y) 



les 2J et Q désignant des polynômes en Tj, To,.-., 7',,, et P,, un polynôme en 

 TifTo, ■■■,T,^^_^, m étant Vordre de la classe où figure le nombre X,.. 



Dans des cas particuliers, le nombre des intégrales de la première catégo- 

 rie pourra être augmenté aux dépens de celles de la troisième, mais l'intégi-ale 



I'. f., p. 



') On peut évidemment substituer à E^.j un terme quelconque de la lorme 7', ' '1\ '. . . y, '' , dont 

 le poids est égal à Ai- . 



