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Ernst Lindelöp.- 



de la forme (ß) existera toujours, à moins que toutes les intégrales n'appar- 

 tiennent à la première catégorie. 



8. Après avoir intégré (n" 0) l'équation aux dérivées partielles 



r àf , Y àf 



^ri^+^ 



dx. 



+ + ^-..1J + 'f=- 



dx^ uj 2 



nous pouvons écrire immédiatement les solutions générales du système des équa- 

 tions différentielles ordinaires: 



(29) 



, dxi 



Ji.i — /j Xi — y i 



(/= 1,2,..-,«). 



Ces solutions se présentent d'abord sous la forme 

 y> =K,t'' ,r„ = Ä;A; 



T,. + R.\ogf = K„t 



h 

 h 



(A = /, + 1 , • • ■ , /,) ; 



T, 





où K^, Ko, ■ , K, désignent les n constantes arbitraires. Résolvons les équa- 

 tions précédentes successivement par rapport à 1\, T.,, ... ,T„, en substituant 

 toujours les valeurs déjà calculées dans les équations suivantes; il vient 



(30) 



T, = K,t 



i. 



T — K r'i 



T,. = UT, P'- + n [«,.1 log t + «,., log^ / + ■•• + «,,. log''' /] , 



{h = ?, + !, 



• , «) ) 



où «t désigne un entier positif non supérieAir à i\., et cc^.r iin polynôme en 

 Kl, Ki, ..., K,^_^, m étant l'ordre de la classe où figure X,,. 



Or, pour Xi ■= ag = ■■■ = x„ = o, le déterminant fonctionnel des T par 

 rapport aux .'■ se réduit à l'unité. Les équations précédentes peuvent donc être 

 résolues par rapport aux variables x, qui sont, par suite, développables en 

 séries suivant les puissances entières et positives des arguments t''', t''\ ... , t''", log t. 

 Mais nous avons vu que les nombres A,, (k > l^) peuvent être remplacés par 

 des combinaisons linéaires de A^, I,, •••, A,^: 



4 - fj,, 1^1 + (1^-2^2 + + g,,,,, h, (^i- = '1 + 1 , , «)• 



Il s'ensuit 



