Sur los inf i' (indes des équations di/frrcntielles. 25 



et nous avons donc ce résultat que les solutions générales du système (29) 

 sont développabh's, suivant tes i^uissances entières et positives des arguments 



Z' t^-- /'■ loo- / 



' ! ' • ■ • • • ) ' 1 '"o ' ) 



en séries convergentes tant que les modules de ces arguments restent suffisam- 

 ment petits. 



Cependant, on voit facilement que, sous cette forme, les solutions des 

 équations (29) ne sauraient être calculées directement à l'aide de ces équations, 

 sans qu'on passe par les intégrales (23). Pour que le calcul direct soit possible, 

 il faut choisir d'autres arguments que ci-dessus. 



Nous avons démontré plus haut (p. 13) qu'il existe au moins une combi- 

 naison linéaire de rang r^. — (i éciuivalente à P.j , (i désignant l'un quelconque 

 des nombres 1 , 2 , . . . , /7. ; soit 



3 (1"), , (^), , . (/') , 





une telle combinaison, m, désignant, comme plus haut, l'ordre de la classe à 

 laquelle appartient le nombre A,,. Les termes logarithmiques figurant aux se- 

 conds membres des équations (30) ont la forme 



«.„^r^Mog"*-; (/.• = /, + !, ,»0, 



ou bien la forme 



k,v,.-H ' '"o ' 



' V==i,2,....n- 



.) 





Or, nous pouvons écrire 



<^* . log"^-'' t = (<^' )'* ' {tS'"'" (t^'^ + ' • 10g""+l t)'' '■ + ' (^'"''"-1 • log"'"'-! t)'-'"'-^ ■ 



Donc, tous les termes des seconds membres de (30) se composent des facteurs 



/' /^ t^h 



(31) 



A+i.log^+M, , t^-Aog""/ , 



et, par suite, nous pouvons affirmer que les solutions générales du système (29) 

 sont développaUes suivant les puissances entières et positives des arguments 

 (31). Or, M. HoRN démontre, dans son mémoire déjà cité (p. 4), que ces 



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