Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien 

 der &amma- und der hypergeometrischen Functionen. 



Es scheint allgemeiner nicht bekannt zu sein, mit welchem Erfolg der 

 ÜAucHYSche Satz x ) in den Theorien der Gamma- und der hypergeometrischen 

 Functionen angewendet werden kann. Durch zweckmässige Benutzung dessel- 

 ben können zunächst aus Gammafunctionen gebildete Producte und Quotienten 

 als Summen von neuen Functionen dargestellt werden, welche fast ebenso ein- 

 fache Functionalgleichungen befriedigen, wie diejenigen, denen die erst genann- 

 ten Ausdrücke Genüge leisten. Die neuen Functionen ergeben sich zunächst 

 in der Form von bestimmten, über Gammafunctionen ausgedehnten Integralen, 

 worin die unabhängige Variable als Parameter enthalten ist. Einige derselben 

 lassen sich aber auch in der Form von Partialbruchreihen, andere in der Form 

 beständig convergirender Potenzreihen darstellen. Ferner giebt es auch sehr 

 einfache Reihen einer dritten Gestalt, wodurch mehrere der fraglichen Func- 

 tionen ausgedruckt werden können. 



Diese durch Anwendung des CAucHYSchen Satzes sich ergebenden Functio- 

 nen bieten aber auch eine Gelegenheit dar, die Theorie der hypergeometrischen 

 Functionen (beliebiger Ordnungen) an die Theorie der Gammafunctionen in 

 ungezwungener Weise anzuschliessen. Der Zusammenhang der beiden Theorien 

 erweist sich dabei als ein so inniger, dass von zwei getrennten Theorien gar 

 nicht mehr die Rede sein kann. Die hypergeometrischen Functionen erschei- 

 nen hierbei in der bemerkenswerthen Form von bestimmten, über Gammafunc- 



') Wonach das Integral ,-,-. J'F(z)dz — erstreckt in positiver Richtung über die Begrenzung 

 eines einfach zusammenhängenden Gebietes, wo die monogene Function F{z) eindeutig ist und 

 keine andere Singularitäten als Unendlichkeitsstellen zur endlichen Anzahl besitzt — gleich ist 

 der Summe der zu den genannten Stellen gehörigen Residuen der Function. Hier genügt es, den 

 Satz in dieser besonderen Form zu benutzen. 



