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tionen gebildeten Integralen, in denen die unabhängige Variable in sehr ein- 

 facher Weise als Parameter enthalten ist. Bei der Erörterung dieser Integrale 

 kann der CAucHYSche Satz fortwährend mit gutem Erfolg angewendet werden. 

 Die Differentialgleichungen und die Reihenentwickelungen derselben ergeben 

 sich beispielsweise sehr einfach durch zweckmässige Benutzung des betreffenden 

 Satzes. 



Als Hauptergebnisse der oben angedeuteten, weiterhin ausführlich darzu- 

 stellenden Theorie können bezeichnet werden: die Zurückfuhrung einer überaus 

 grossen Menge bestimmter, über hypergeometrische Functionen ausgedehnter 

 Integrale auf die Gammafunction und die Darstellung hypergeometrischer 

 Functionen mit Hülfe derselben Function in der Form von bestimmten ein- 

 fachen Integralen, worin die unabhängige Variable als Parameter enthalten ist. 

 Als Aufgabe dieser Arbeit betrachten wir überdies den Nachweis des Satzes, 

 dass alle hypergeometrishen Differentialgleichungen mit Hülfe der Gamma- 

 function im angeführten Sinne vollständig integrirt iverden können *) — ein 

 Satz, der wohl als neu betrachtet werden kann, und welcher sehr eigenthüm- 

 lich lautet, wenn man bedenkt, dass die Gammafunction selbst bekanntlich kei- 

 ner algebraischen Differentialgleichung genügen kann. 



Die vorliegende Arbeit hängt mit früheren, die (lammafunctionen betref- 

 fenden Untersuchungen 2 ) des Verfassers nahe zusammen, geht aber zugleich 

 über dieselben bedeutend hinaus. Der Abschnitt I enthält zunächst die voll- 

 ständige Erledigung einer wohlbegrenzten functionentheoretischen Aufgabe, 

 welche zugleich für die Theorie der hypergeometrischen Differentialgleichungen 

 eine besondere Bedeutung hat. Für die darauf folgenden Abschnitte aber ist 

 die conséquente Benutzung des OAucHYSchen Satzes charakteristisch. 



1 ) Was in der gegenwärtigen Arbeit für Gamma- und hypergeometrische Functionen einer 

 Variable dargethan wird, kann, wie ich gelegentlich nachzuweisen gedenke, in analoger Weise 

 auch für entsprechende Functionen mehrerer Veränderlichen geleistet werden, wobei die betreffen- 

 den Functionen in der Form von vielfachen, über Gammafunctionen ausgedehnten bestimmten 

 Integralen auftreten werden, worin die unabhängigen Veränderlichen als Parameter enthalten 

 sind. Die Anzahl der Integralzeichen wird gleich der Anzahl der Veränderlichen, und somit von 

 den Ordnungszahlen der Functionen unabhängig. 



2 ) Welche in den folgenden Arbeiten publicirt worden sind: Om en ny klass af transcendenta 

 funktioner, hvilka åro beslägtade med Gammafunktionen. I & II (Acta Soc. Sc. Fenn. Tom. XIV & XV). 

 Zur Theorie der Gammafunction. (Acta Math. Bd. 8.) über einen Znsammenhang zwischen gewissen 

 linearen Differential- und Dijferenzengleielmngen. (Ebenda Bd. 9). Zur Theorie der linearen Diffe- 

 rensengleichungen erster Ordnung (Ebenda Bd. 15). Om definita integraler, hvilka för obegränsadt 

 växande värden af vissa heltaliga parametrar hafva till gränser hyper geometriska funktioner af 

 särskilda ordningar. (Acta Soc. Sc. Fenn. Tom. XX). 



