I. 



Erledigung einer fniictionentheoretischen Aufgabe, welche für die Theorie der 

 hypergeometrischen Differentialgleichungen eine besondere Bedeutung hat. 



1. 



In diesem Abschnitte wollen wir diejenigen Gammafunctionen charakterisiren, 

 welche in der vorliegenden Arbeit sodann vorzugsweise benutzt, werden sollen. 



In der Theorie der Gammafunctionen handelt es sich oft um das Verhalten 

 der Functionen in einem Bereiche, welcher in der die complexe Veränderliche 

 at=Ç+iÇ darstellenden Ebene von zwei unbegrenzten, zur imaginären Axe 

 parallelen Geraden £ = « und Ç = ß begrenzt wird. Ein solcher Parallelstreifen 

 kann, falls a < ß ist, durch (a < £ < ß) bezeichnet werden. 



In § 13 meiner Arbeit Zur Theorie der linearen Diff'erenzengleichungen 

 erster Ordnung (Acta Math. Bd. 15) sind nun allgemeine Ausdrücke ermit- 

 telt worden, durch welche sämmtliche, einer Functionalgleichung der Form 



F(z + i) = >-<?*) ••(*-g"») ,F( g ) = a S(z) F(s) 

 (s—Oi)---(s-(t») w w w 



genügende, monogene Functionen dargestellt werden können, für die es über- 

 haupt einen zur imaginären Axe parallelen Streifen von der Breite Eins 

 («^f^ß + O giebt, wo sie sich überall 1 ) regulär verhalten und wo sie über- 

 dies, nach Multiplication mit einer passenden Potenz von z, dem absoluten 

 Betrage nach nicht über jede endliche Grenze wachsen können '-). 



') D. h. in der Umgebung jeder endlichen Stelle im Innern und auf der Begrenzung des 

 Streifens. 



-) Eine allgemeinere Aufgabe als die obige entsteht, wenn man nach denjenigen, die Gleichung 

 f(z-\-\) = aB(s)f(z) befriedigenden Functionen fragt, die in einem gewissen (und daher auch in 

 jedem) zur imaginären Axe parallelen Streifen von der Breite Eins keine andere Singularitäten, 



