6 Hj. Mellin. 



Man setze zur Abkürzung 



und es seien c u ■■■, c p beliebige Constanten, unter denen doch keine zwei sich 

 finden, deren Differenz gleich der Null oder einer ganzen Zahl wäre, und deren 

 Anzahl p der einzigen Bedingung unterworfen ist, dass 2p nicht kleiner ist 

 als m + n. Dann lässt sich jede Function mit den oben genannten Eigen- 

 schaften bei passender Bestimmung von A ,A U ---,A P — je nachdem n+p 

 eine gerade oder ungerade Zahl ist — durch den ersteren oder letzteren der 

 folgenden Ausdrücke darstellen 



0) 



a z G 0) sin st (g— cj) • . . sin st (s— c p ) [A + A t cotg * (z— d) + . • + A p cotg st (g - (p )] , 

 a ! G (z) sin st (g— c % )- ■ ■ sin sc (z—c P ) 



Al +■■■ + 



smst(z—c l ) smst(z—c p ) 



2p 2> m + ii . 



Nimmt man von einer Function F(z) an, dass sie, statt der Gleichung 

 F(z +i) = aR(z) F(z) , der Gleichung F(z + i) = - a B (z) F(z) genüge und sich 

 in einem gewissen Parallelstreifen («<^«+i) auf die im vorigen Falle an- 

 gegebene Weise verhalte, so gelangt man durch dieselben Schlüsse, wie sie in 

 dem citirten § benutzt wurden, ebenfalls zu den Ausdrücken (i). Jetzt wird 

 aber F(z) durch den letzteren oder ersteren von ihnen dargestellt, je nachdem 

 n+p gerade oder ungerade ist. Die obigen Ausdrücke (i) haben also auch 

 die allgemeinere Bedeutung, dass sie sämmtliche Functionen umfassen, welche die 

 eine oder die andere der beiden Functionalgleichungen F(z+i) = ± aB(z)F(z) 

 befriedigen, und für die es ausserdem irgendwo in der 2-Ebene einen zur 

 imaginären Axe parallelen Streifen von der Breite Eins giebt, wo sie sich auf 

 die angegebene Weise verhalten. 



Der letztere Ausdruck (i) kann auf eine Form gebracht werden, worin er 

 sich vom ersteren nur dadurch unterscheidet, dass statt p die Zahl p — i vor- 

 kommt. Dies geschieht durch die Transformation 



als Unendlichkeitsstellen zur endlichen Anzahl, besitzen und, nach Multiplication mit einer pas- 

 senden Potenz von z, sich daselbst der Grenze Null nähern, wofern z sich von der reellen Axe 

 ins Unendliche entfernt. Diese Aufgabe — wo es sich offenbar um die Bestimmung sämmtlicher, 

 die Gleichung f(z-\-l) = aB(z)f(z) befriedigender Functionen handelt, die sich in jedem zur ima- 

 ginären Axe parallelen Streifen von endlicher Breite ebenso verhalten, wie die rationalen Func- 

 tionen von z in der ganzen r-Ebene — kann auf die obige speciellere Aufgabe dadurch zurück- 

 geführt werden, dass man F (z) = r(z)f (z) setzt, wobei r(z) eine passend gewählte, ganze ratio- 

 nale Function bezeichnet. 



