Gamma- und hypergeometrische Functionen. 



(2) sin st (z — c») -A c H h - — -A r 



v ' v u [sm sr (z— Ci) smst(z—c p ) 



B + B x cotg st {z — Ci) -\ h B p -i cotg st {z — c p -i) , 



welche in dieser Arbeit auch bei anderen Gelegenheiten benutzt wird. Diese 

 Gleichung findet statt, wenn die B so bestimmt werden, dass die Differenz der 

 beiden Seiten an keiner der Stellen c 1} ■■•, c^i unendlich werden kann. Denn 

 bei einer solchen Bestimmung, die ja stets möglich ist, ergiebt sich leicht, dass 

 die genannte Differenz den Charakter einer ganzen Function besitzt, die mit 

 wachsendem \s\ ihrem absoluten Betrage nach unter einer endlichen Grenze 

 bleibt und sich somit auf eine Constante redueiren muss. Hiermit ist die 

 Richtigkeit der Behauptung erwiesen. 



Die obigen Ausdrücke (1) wurden a. a. 0. keiner besonderen Discussion 

 unterzogen. Bei dieser Gelegenheit sollen sie aber eingehend erörtert werden. 

 Es wird sich ergeben, dass man die Untersuchungen unbeschadet der Allge- 

 meinheit auf solche Functionen beschränken kann, in deren Ausdrücke a = i 

 ist. Dagegen ist es angemessen, die beiden Gleichungen F(z+i) = ±B(z) F(z), 

 resp. die ihnen genügenden Functionen, gleichzeitig neben einander in Betracht 

 ji ziehen. 



Der Kürze halber werden in dieser Arbeit die nachstehenden Bezeich- 

 nungen benutzt und ihre Bedeutungen stets* als bekannt vorausgezetzt : 



M b (z) - (£ rgi)---( g -g'") 



(3) ÄW -(*-ff 1 )-(«-«r.)' 



;m , 



(4) * = tfiH \-e,, — Qi Q» 



(5) e(0) = r(z-Qi)...r(z- Qm ) r(i + tfl -«)...r(i + a n -z) , 



(6) (f (: , X) = s'msr (z— c t )- ■ ■ smst(e— Cj) [A + A x cotg st(z — c t ) -\ \- A x cotgst (z—c{)\. 



Die Function G(» hat offenbar die Eigenschaft G (z+ 1) = (- i)" B (*) G (s). 

 Sie kann als eine Grundform betrachtet werden, aus der die übrigen weiterhin 

 in Betracht zu nehmenden Functionen durch Multiplication mit Ausdrücken der 

 Form (p(z,X) entstehen. Die in (f>(z,X) enthaltenen Constanten c t ,---,c x hat 

 man als bestimmte, von vorneherein angenommene Grössen zu betrachten, wo- 

 gegen (he A als unbestimmte oder zu bestimmende Grössen anzusehen sind. 

 Offenbar ist y (z+ i , X) = (- i) 1 (p (z, X). 



Unsere Ausdrücke (i), worin nach dem Gesagten a=i zu setzen ist, und 

 wovon der erstere alsdann die Form G(z)(p(z,p) schon hat, der letztere auf 

 die Form G (/) (p(e,p — i) stets gebracht werden kann, gestalten sich am ein- 



