8 Hj. Mellin. 



fachst en, wenn wir p gleich der kleinsten ganzen Zahl annehmen, deren dop- 

 pelter Werth nicht kleiner ist als m + n. Bei den weiteren Erörterungen soll 

 daher die ganze Zahl j) stets durch die Ungleichheiten 



/~\ ^ m+n 



(7) p^— ~>p-l 



in eindeutiger Weise definirt sein. 



Jede monogene, die Gleichung F(z + i) = + R(s)F(z) oder F(z+i) = 

 — R(s)F{z) befriedigende Function, für die es einen Parallelstreifen («<;£<;«+ 1) 

 giebt, wo sie sich auf die früher angegebene Weise verhält, ist nun in den 

 Ausdrücken enthalten : 



\r(z- Ql ) . . ■ r(s - Qm ) r(i + tfl -«) ...r(i + *„-*)*(*, P - 1) = Q(z)<p(z, P -i) , 



und zwar in dem ersteren oder letzteren, je nachdem sie die Gleichung 

 F(z+i)=(-i) n+ *R(s)F(z) oder F(s+i) = (- l)"^- 1 R (z) F(z) befriedigt. Man 

 darf natürlich nicht umgekehrt behaupten, dass diese Ausdrücke, obschon sie 

 die genannten Gleichungen befriedigen, stets auch die übrigen in Frage stehenden 

 Eigenschaften besitzen. Es wird vielmehr unsere Aufgabe in diesem Abschnitte 

 sein, solche Bedingungen zu ermitteln, unter denen sie auch die übrigen Eigen- 

 schaften bekommen. Zu bemerken ist auch, dass diese Ausdrücke sich a. a. O. 

 ergaben, ohne dass es nöthig war, die Lage des vorausgesetzten Parallelstrei- 

 fens («<c£<;«+i) näher anzugeben. Von der Zahl « sind sie in der That 

 auch ganz unabhängig. 



In der Aufgabe, welche zu den Ausdrücken (8) geführt hat, wird ein zur 

 imaginären Axe paralleler Streifen von der Breite Eins verlangt, wo die ge- 

 wünschten Functionen sowohl sich überall regulär verhalten, wie auch, nach 

 Multiplication mit einer passenden Potenz von z, dem absoluten Betrage nach 

 unter einer endlichen Grenze bleiben sollen. Die letzte Forderung bezieht sich 

 offenbar auf das Verhalten der Functionen für unendlich grosse, dem Parallel- 

 streifen angehörige Werthe von s und ist der Bedingung vollständig äquiva- 

 lent, dass die betreffenden Functionen nach Multiplication mit einer passenden 

 Potenz von s sich gleichmässig der Nidl nähern sollen, wofern sich s in dem 

 fraglichen Streifen ins Unendliche entfernt; was so bezeichnet werden kann: 



lim z~ k F(z)—o, a<Ç<a+i . Beachtet man nun, dass eine die Gleichung 

 5'= ±00 

 F(z+i) = ±R(z) F(z) befriedigende Function, welche in einem gewissen, zur 



imaginären Axe parallelen Streifen von der Breite Eins bei passender Bestim- 



