Gamma- und hypergeometrische Functionen. 9 



mung von h die Bedingung Um ir h F(s) =ö erfüllt, dieselbe Eigenschaft auch 



in jedem anderen solchen Streifen besitzt; so leuchtet ein, das sännntliche Func- 

 tionen mit den in unserer Aufgabe verlangten Eigenschaften dadurch erhalten 

 werden können, dass man von der Menge der in (8) enthaltenen Functionen 

 zunächst diejenigen absondert, die in jedem beliebigen Streifen (<;<£<{j) bei 



passender Bestimmung von 1c die Eigenschaft lim z~ k F(s)=o besitzen, und so- 



ê'=+oo 



dann unter den abgesonderten Functionen diejenigen ermittelt und behält, für 

 die es überhaupt einen zur imaginären Axe parallelen Streifen von der Breite 

 Eins giebt, wo sie sich überall regulär verhalten. In dieser Reihenfolge sollen 

 nun die Untersuchungen dieses Abschnittes geführt werden. 



Es fragt sich also zunächst, wie sich die Ausdrücke (8) für unendlich 

 grosse, einem Parallelstreifen (« < £ <: /3) angehörige Werthe von e verhalten. 



Um diese Frage beantworten zu können, muss ich mich auf zwei in 

 den §§ 3 und 4 der oben eitirten Arbeit ermittelte Formeln stützen, die das 

 Verhalten zweier Gammaquotienten in einem beliebigen, zur imaginären Axe 

 parallelen Streifen (cc<C<ß) für den Fall charakterisiren, dass die Veränder- 

 liche z = Ç+iÇ' sich von der reellen Axe ins Unendliche entfernt, und die so 

 lauten J ) 



wo 6 mit wachsendem | £' | gegen die Null gleichmässig convergirende Grössen 

 bezeichnet. Die in diesen Gleichungen enthaltenen mehrdeutigen Ausdrücke sind 

 durch z'" a = e i ''~" ) log " , z 2 ^ = e 2Slogr in der Weise zu définirai, dass unter log^ 

 stets der Hauptzweig des Logarithmus naturalis verstanden wird. Wird (io) 



mit der Formel rh) r(\—e) = - = — : — ■ — — j- zusammengestellt, so ergiebt 



sich die wichtige Gleichung 



(11) \r(z)\ = \z^ i \.e'^ u ' l .\\/^ t + s\, 



welche angiebt, wie sich die Gammafunction selbst verhält, wenn der imaginäre 

 Theil der Variable s = S + i£' dem absoluten Betrage nach ohne Ende wächst, 



') Man bemerke die Verschiedenheit der beiden Gleichungen in der Hinsicht, dass die letz- 

 tere nur das Verhalten des absoluten Betrages des Quotienten der linken Seite angiebt. 



2 



