Gamma- und hypergeometrische Functionen. 



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übergehen, wollen wir im nächstfolgenden § ein Paar Hülfsätze über trigonome- 

 trische Ausdrücke der Form (6) entwickeln, von denen wir gleichfalls Gebrauch 

 machen weiden. 



Dieser § soll also einer Erörterung von Ausdrücken der mit </ (0, X) 

 bezeichneten Form gewidmet werden. Es wird stets vorausgesetzt, dass unter 

 den in g> enthaltenen Constanten c u • ■ • , c x weder zwei gleiche sich finden, noch 

 zwei, deren Differenz gleich einer ganzen Zahl wäre. Offenbar hat y den 

 Charakter einer ganzen Function. 



Soll ein Ausdruck der Form y (s, X) — man siehe (6) — an irgend einer 

 der Stellen c 1; ■••, c A , z. B. für z = c x verschwinden, so ist hierfür offenbar noth- 

 wendig und hinreichend, dass die zugehörige Constante A x gleich der Null ist. 

 Alsdann wird aber tp (z , X) = sin ji (z — c A ) <p (s , X — i). Dies gilt auch für den 

 Fall, wo man annimmt, y (z , X) verschwinde an einer Stelle, die von c k um 

 eine ganze Zahl verschieden ist. — Jetzt werde angenommen, y (z,X) ver- 

 schwinde an einer Stelle z = a , die von keiner der Grössen c x , • • ■ , c x um eine 

 ganze Zahl verschieden ist. Hierfür ist nothwendig und hinreichend, dass der 

 in <p vorkommende Klammerausdruck für z — a gleich der Null ist. Es er- 

 giebt sich somit eine Gleichung, durch welche A homogen und linear in 

 A t , • ■ • , A x ausgedrückt wird. Setzt man für A diesen Ausdruck in y (z , X) 

 ein, so nimmt <p {z , X) nach einer einfachen Rechnung die Form an 



sin « (s— a) sin st (z — c t ) ■ • • sin st (z — c x ) 



B, 



i; 



siüsr(z—c 1 ) 



sin^r^ 



-cu] 



Dieser Ausdruck kann vermöge der Gleichung (2) weiter auf die Form 

 sin ff (s — a) cp (0, X— 1) gebracht werden. Es gilt also unbedingt der Sats, 

 dass ein Ausdruck der Form cp(z,X), welcher für z = a verschwindet, auf die 

 Form sin n (0 — a) y (z, X— 1) gebracht iverden kann. Aus dem Obigen geht 

 zugleich hervor, dass man bei unbestimmten Werthen der X+i Constanten A 

 stets über dieselben so verfügen kann, dass cp(z, X) gleich sin ff (0 — d) <f(z,X — 1) 

 wird, wobei a eine beliebig gewählte Grösse bezeichnen darf. In y (z , X — 1) 

 bleiben noch X unbestimmte Constanten übrig. 



Durch wiederholte Anwendung des obigen Satzes, der an eine bekannte 

 Eigenschaft der ganzen rationalen Functionen erinnert, leitet man den folgen- 

 den ab, der das Analogon zu der Zerlegung eines Polynoms in Linearfactoren 

 bildet : Verschwindet eine Function y (z , X) an den verschiedenen Stellen 

 s = a x , •••, dp, unter denen vorläufig keine zwei sich linden mögen, deren Dif- 



