Gamma- und hypergeometrische Functionen. 13 



Vermöge der Gleichung (2) lässt sich dieser Ausdruck weiter auf die Form 

 (f(z,k — 2) bringen. Wenn also der in tp(z,X) als Factor enthaltene Klam- 

 merausdruck die beiden Bedingungen (16) erfüllt, so lässt sich (f:(z,X) au f die 

 Form tp(e,X—2) bringen, wo noch X — 1 unbestimmte Constanten übrig bleiben. 

 Zugleich ergiebt sich, dass die sämmtlichen Ausdrücke y(s, X — 2), <p (e, X — 4),--- 

 als specielle Fälle in dem allgemeineren Ausdrucke tp(e,X) enthalten sind, aus 

 dem sie durch Specialisirung der Constanten entstehen. 



Nach den vorbereitenden Erörterungen der beiden letzten §§ wollen 

 wir die am Schluss des § 1 bezeichnete Untersuchung aufnehmen, und zwar 

 sollen in diesem und in dem nächstfolgenden § die beiden Ausdrücke (8) für 

 unendlich grosse, einem beliebigen, zur imaginären Axe parallelen Streifen an- 

 gehörige Werthe von z = £ + i Ç' erörtert werden. 



In diesem § erörtern wir den letzteren Ausdruck (8), d. h. den Ausdruck 

 G (2) y(z,p — 0- Weil der darin als Factor enthaltene Klammerausdruck mit 

 wachsendem | f ' endlich bleibt, so betrachte man den anderen, diesen Aus- 

 druck multiplicirenden Factor von Cr (z) <p (z, p — 1), d. h. den Ausdruck 

 G(V) sin n (z — Ci) ■■■ sin a (z — c p _ a ), dessen Verhalten für unendlich grosse, ei- 

 nem beliebigen Streifen (« < £ < ß) angehörige Werthe von z die Gleichung 

 (14) angiebt, wenn darin X=p — 1 angenommen wird. Vermöge der Bedingung 

 P > "T >P - 1 bekommt die Differenz =±= - X = =±= - (p - 1) den Werth 1 oder 

 den Werth l, je nachdem m+n eine gerade oder ungerade Zahl ist. Die 

 rechte Seite von (14) enthält im ersteren Falle den Factor e~ ^', im letzte- 

 ren Falle den Factor c~ 2 IS l ? woraus sich ergiebt, dass €1 {2) <p (z , p — 1) in 

 beiden Fällen sogar die Eigenschaft besitzt, dass $*G(#) qp (z,p — 1), wie gross 

 man auch k annehmen möge, mit wachsendem j £' J gleichmässig gegen die Null 

 convergirt, wofern f auf ein beliebiges, aber endliches Intervall beschränkt 

 wird. — In jedem zur imaginären Axe parallelen Streifen, wo Oi(z) cp (z,p — i) 

 sich überall regulär verhält, kann somit der absolute Betrag desselben nicht 

 über eine gewisse endliche Grenze wachsen. 



5. 



In diesem § erörtern wir den ersteren der Ausdrücke (8), d. h. den 

 Ausdruck CJ (V) y {s , p) . Auch jetzt sehen wir vorläufig von dem darin ent- 

 haltenen Klammerausdruck ab und betrachten den diesem vorangehenden Factor 



