14 Hj. Mellin. 



G (V) sin n (z — Cj) • • • sin n (S — c i( ) , dessen Verhalten für unendlich grosse, einem 

 behelligen Streifen (ct<'£<ß) angehörige Werthe von z die Gleichung (14) 

 angiebt, wenn darin X =p gesetzt wird. Vermöge der Bedingung p~^^r>p- 1 

 bekommt die Differenz '"^--X='"^-p den Werth o oder den Werth -\, je 

 nachdem m+ n gerade oder ungerade ist. Die auf der rechten Seite von (14) 

 stehende Exponentialfunction reducirt sich im ersteren Falle auf 1. im letzteren 

 wiixl sie gleich e? ' s ' . 



Da der Klammerausdruck mit wachsendem j g | dem absoluten Betrage 

 nach nicht ohne Ende wächst, so kann offenbar im ersteren Falle, d. h. falls 

 m + n gerade ist, eine Zahl k stets so angenommen werden, dass s~ k G (z) y (z , p) 

 mit wachsendem | %' | sich der Grenze Null nähert, wofern g" auf ein beliebiges, 

 aber endliches Intervall beschränkt wird. 



Im letzteren Falle, d. h. wenn m + n ungerade ist, wird dies aber bei 

 unbestimmten Werthen der Constanten A des Klammerausdrucks nicht möglich 

 sein. Denn da der absolute Betrag des oben besprochenen vorangehenden 

 Ausdrucks den Factor e ~£ ' s ' enthält, so wird im Gregentheil | z~ k G(z) y(z,p)\, 

 wie gross auch k sei, bei unbestimmten Werthen von A ,---,A p mit wachsen- 

 dem j £' | unendlich gross, wofern £ auf ein endliches Intervall beschränkt ist. 

 Wünschen wir also zu solchen Functionen zu gelangen, welche bei passender 

 Bestimmung von k die Bedingung lim z~ l ' F(z) = 0, (rc<£</3) erfüllen, so ist 



es im gegenwärtigen Falle jedenfalls nothwendig, die Constanten A solchen 

 Einschränkungen zu unterwerfen, dass der Klammerausdruck sowohl für 

 £' = + <*> als auch für £' = — 00 verschwindet. Dadurch geht aber nach § 3 

 (p(z,p) in q? {s,p — 2) über, und somit Q(z)cp(z,p) in G(z) cp (e, p — 2) über. 

 Die p — 1 unbestimmten Constanten des letzten Ausdrucks brauchen keinen 

 weiteren Einschränkungen unterworfen zu werden. Derselbe besitzt ohnedies 

 nicht nur die gewünschte, sondern sogar die bemerkenswerthere Eigenschaft, 

 dass z l G(z) (p (z,p — 2), wie gross auch k sei, mit wachsendem Ç' gleich- 

 massig gegen die Null convergirt, falls f auf ein beliebiges endliches Intervall 

 beschränkt wird. Denn da der darin vorkommende Klammerausdruck mit 

 wachsendem |f'| nicht ohne Ende wachsen kann, so genügt es, den diesem 

 vorangehenden Ausdruck G (s) sin jr (# — Cj) • ■ ■ sin n (/: — Cp_ 2 ) zu betrachten, in- 

 dem man die Gleichung (14) benutzt, wobei X—p — 2 zu setzen ist. Die auf 

 der rechten Seite stehende Exponentialfunction wird in der That gleich 



e -8«|6'l oder e 2 ' , je nachdem m+n gerade oder ungerade ist; woraus die 

 Richtigkeit der Behauptung folgt, (Im vorliegenden Falle war nach Voraus- 

 setzung m + n eine ungerade Zahl). 



