Gamma- und hypergeometrische Functionen. 1"> 



6. 



In ilen zwei letzten ij$ ist der erste Theil der am Schluss des § 1 

 bezeiclineten Untersuchung durchgeführt, indem sämmtliche in (8) enthaltene 

 Functionen nunmehr ermittelt worden sind, welche in jedem zur imaginären 

 Axe parallelen Streifen (« % ■ (i) hei passender Bestimmung von k die Be- 

 dingung lim z~ k F(z) = o erfüllen. Diese Eigenschaft hesitzen alle in dem 



£'=±oo 



letzteren und, falls m + n eine gerade Zahl ist, auch alle in dem ersteren Aus- 

 drucke (8) enthaltenen Functionen. Ist aber m + n eine ungerade Zahl, so 

 müssen die Constanten A des ersteren Ausdrucks, damit er die fragliche Eigen- 

 schaft bekomme, solchen Einschränkungen (iô) unterworfen werden, dass er sich 

 in den specielleren Ausdruck G (?) tp (z,p — 2) verwandelt. Diese Ergebnisse 

 wollen wir so zusammenstellen: 



m + 11 = 2 k : m -J- » = 2 k -f l : 



j G(*)<p(z,P), j G (*)<?(*,# -2), 



\G(z)cf(.:,p-l). \-B(b) 9 (b, P -i). 



Der zweite Theil der am Schluss des § 1 besprochenen Untersuchung 

 würde nun darin bestehen, dass man unter den so bestimmten Functionen die- 

 jenigen ermittelte, für die es überhaupt einen zur imaginären Axe parallelen 

 Streifen von der Breite Eins giebt, wo sie sich überall regulär verhalten. Als- 

 dann wäre die Aufgabe vollständig gelöst, welche zu den obigen Ausdrücken 

 gerührt hat. 



Nimmt man einen bestimmten Streifen (« < 'Ç < a + 1) in Betracht und 

 fragt nach solchen in einem Ausdrucke der Form G (s) tp (2 , X) enthaltenen 

 Functionen, welche in diesem Streifen sich überall regulär verhalten, so hat 

 man vor Allem zu beachten, welche Unendlichkeitsstellen der Function G (s) 

 in dem fraglichen Streifen liegen, wenn solche darin überhaupt enthalten sind. 

 Denn an jeder solchen Stelle wird G (V) <p (.? , A) unendlich, wenn nicht über 

 die Constanten des trigonometrischen Ausdrucks cp so verfügt wird, dass der- 

 selbe an der betreffenden Stelle von wenigstens ebenso hoher Ordnung ver- 

 schwindet, wie G (z) unendlich wird. Die Unendlichkeitsstellen von G (s) ord- 

 nen sich zu m+n arithmetischen Reihen, von denen die m Reihen 



(18) QfiiQp- 1 ,---,9it-v,--- {(t= 1,2, •••»») 



mit der Differenz — 1 , und die n Reihen 



(19) ff„ + i,ff + 2,...,ff /l + v,... (ft = 1,2,... n) 



