Grammet- und hypergeometrische Functionen, 17 



II. »lass sie sich in der Umgebung- jeder endlichen Stelle im Innern und 

 auf der Begrenzung des Parallelstreifens (< g"- a-\ 1) regulär verhält, wobei 

 « die unter I erwähnte Zahl bezeichnet; 



III. dass sie, nach Multiplication mit einer passenden Potenz von z, dem 

 absoluten Betrage nach nicht über jedes Mass wachsen kann, wofern z auf den 

 unter II erwähnten Streifen beschränkt wird; 



so kann sie bei passender Bestimmung der in y enthaltenen Constanten 

 A, falls m + n eine gerade Zahl ist, durch einen der Ausdrücke 



(20) G(z)<p(z,p), Qr(z)<p(z,p-l), 



falls m + n aber eine ungerade Zahl ist, durch einen der Ausdrücke 



(21) G(») »(*,!> -a), Q(z)tp(z,p-i) 



dargestellt werden, und zwar durch den jedesmaligen ersteren oder letzteren 

 Ausdruck, je nachdem sie die Gleichung F(z + i) = (- i)" +p R (z) F (z) oder 

 F(z + l) = (— i)"^- 1 R(z)F(z) befriedigt; hierbei dürfen unter den in cp ent- 

 haltenen Grössen c 1} c 2> --- keine zwei sich finden, deren Differenz gleich einer 

 ganzen Zahl wäre. Umgekehrt besitzen auch die so definirten Ausdrücke die 

 unter I, II, III angegebenen Eigenschaften, wenn die hinsichtlich der Constan- 

 ten q und ö gemachte Voraussetzung erfüllt ist. 



Es ist zu bemerken, dass eine Function CJ (z), deren Constanten q und <; 

 die obige Bedingung nicht erfüllen, stets durch Multiplication mit einer passen- 

 den ganzen rationalen Function in eine Function verwandelt werden kann, deren 

 entsprechende Constanten die betreffende Bedingung erfüllen. Multiplicirt man 

 nämlich mit z — q 1} so geht der Factor r(z — Qi) über in r(z — Qi+i); also wird 

 der Parameter q x um Eins kleiner. Multiplicirt man mit i + ö x — z, so geht 

 der Factor r(i +6 1 ~z) über in r(2 + o 1 ~- z); mithin wird der Parameter <>, 

 um Eins grösser. Hieraus geht die Richtigkeit der Behauptung leicht hervor. 



Der Satz des vorigen § gestaltet sich noch einfacher, wenn man die unter 

 III angegebene Forderung steigert. 



Nach den §§ 4 und 5 besitzen die beiden Ausdrücke (21), sie mögen F (z) 

 heissen, nicht nur die unter III angegebene Eigenschaft, sondern sogar die 

 bemerkenswerthere, dass z k F(z), wie gross auch k sei, mit wachsendem g' 

 sich der Null nähert, wenn % auf ein beliebiges endliches Intervall beschränkt 

 wird. Das Verhalten des ersteren Ausdrucks (20) ist aber bei unbestimmten 



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