Gamma- und îiypergeometrische Functionen. 19 



ferait. Wünschen wir also, dass der absolute Betrag des betreffenden Ausdrucks 

 in dem genannten Streifen unter einer endlichen Grenze bleiben soll, so ist es 

 jedenfalls liothwendig, die Constanten A solchen Einschränkungen zu unter- 

 werfen, dass der Klammerausdruck die beiden Bedingungen (16) erfüllt. Als- 

 dann geht aber der erstere Ausdruck (20), wie schon in § 5 gezeigt worden, 

 in den ersteren Ausdruck (21) über. 



Wenn also die im vorangehenden Satze unter 111 angegebene Forderung 

 dahin gesteigert wird, dass die betreffende Function, auch wenn man sie nicht 

 mit einer Potenz multiplicirt, die fragliche Eigenschaft besitzen soll, so geht 

 der Satz in den folgenden über: 



Nimmt man von einer monogenen Function an; 



I. dass sie eine Functionalgleichung 



*(*+»=+ %z%:.t- q â F{2) =±E (î) F(s) 



befriedigt, deren Constanten q und 6 die Bedingung erfüllen, dass die reellen 

 Theile von Qi,---,q„, algebraisch Meiner, die reellen Theile von 6 l ,---,6„ aber 

 grösser sind als eine geivisse reelle Zahl a; 



IL dass sie sich in der Umgebung jeder endlichen Stelle im Innern und 

 auf der Begrenzung des Parallelstreifens (u <; £<; a + 1) regulär verhält, wobei 

 c die unter I erivähnte Zahl bezeichnet; 



III. dass sie dem absoluten Betrage nach nicht über jedes Mass wachsen 

 kann, wofern z auf den unter II erwähnten Streifen beschränkt wird; 



so kann sie bei passender Bestimmung der Constanten A durch den erste- 

 ren oder letzteren der Ausdrücke 



\r(z- qi )...r(z-q m )r{i + o l -g)...r(i + <s„- s ) 9 ( 2)P - 2) 

 (26) 



[r(s-<> 1 )...r(z-<> m )r(i + <f l -g)...r(i + c n -e)<p(z ) p-i) 



dargestellt werden, je nachdem sie die Gleichung F (#) = (— i)" +i> .B(£) F \z) oder 

 F(z-\-\) = (—i)' ,+1 '~ l R(z)F{z) befriedigt; ivobei unter den in <p vorkommenden 

 Grössen c u c 2 , ■■■ keine zivei sich finden dürfen, deren Differenz eine ganze Zahl 

 tväre. Umgekehrt besitzen auch die Ausdrücke (26) alle obigen Eigenschaften, 

 wenn die über die Constanten q und a gemachte Voraussetzung erfüllt ist. 



Nach den Erörterungen der §§ 4 und 5 besitzen die beiden Ausdrücke 

 (26), wo i> durch die Ungleichheiten (7), p > '"P >p — 1 , definirt ist, sogar noch 

 die Eigenschaft, dass sie, mit einer beliebig hohen Potenz von z ■= 'Ç ~\- i 'Ç' mul- 

 tiplicirt, mit wachsendem 'Ç,' gleichmässig gegen die Null convergiren, wofern 

 £ auf ein beliebiges endliches Intervall beschränkt wild: 



